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arithmétique, pgcd(a+b;ab) avec a et b premiers entre eux
Bonjour à tous,
Quelqu'un aurait-il l'amabilité de m'aider sur la deuxième partie de la première question de ce problème. Par avance merci.
Soient a et b deux entiers premiers entre eux.
1. Montrer que a + b et ab sont premiers entre eux. En déduire que les nombres a + b et a2 -ab + b2 sont
premiers entre eux ou divisibles par 3.
2. Démontrer l'égalité : PGCD(a + b ; a2 -ab + b2) = PGCD(a + b ; 3).
" s'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème" dit le sage.
Bonsoir,
Soit un diviseur premier de
et
divise
mais comme
est premier avec
, d ne divise pas
donc
divise 3 d' après Gauss.
et ou
soit d = pgcd ( a+b, a )
d / a+b et d /a donc d / b d'où d / pgcd ( a, b ) -> d/1
et puisque d appartient à N alors d=1 (1)
de la meme maniere on a 1 = pgcd (a+b,b) (2)
de 1 et 2 on deduit que : pgcd ( a+b, ab ) = 1.
CQFD.
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