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Arithmétique PGCD ( vérification )
Bjour, je voudrais savoir si ce que j'écris est juste, pcq je me perds en arithmétique.
Merci
n désigne un entier naturel,
a=7n²+4 b=n²+1
1/Démontrer que tt diviseur commun à a et b est un diviseur de 3.
On remarque que a=7(n²+1)-3=7b-3
Si d/a
d/b => d/7b-a => d/3 ( Faut-il, ds ce cas, faire la réciproque ?)
2/a)Expliquer pourquoi si PGCD (a,b)=3 alors il existe un entier naturel k tel que n²+1=3k
Si 3/a 3/-a+7(n²+1) 3/3
3/b => 3/n²+1 => 3/n²+1 ( Je ne comprends pas vraiment ce que j'écris)
3=k3 avec k=1
donc n²+1=3k
b) Démontrer par disjonction des cas que cela est impossible.
Soit n un entier naturel donc n=3k ou n=3k+1 ou n=3k+2
n²=3(3k²)+1 n²=3(3k²+2k)+2 n²=3(3k²+4k+1)+2
c) En déduire PGCD(a;b)
Donc PGCD(a;b)=1 car 3 est impossible et 3 est premier ( Je ne sais pas cmt justifier)
----------------------------------------
Trouver ts les entiers naturels nn nuls a tels que :
a<336 PGCD ( 336 , a)=28
On peut poser : 336=aq+28 , q 
336-28=aq aq = 108 dc
108=1 x 108
=2 x 54
= 3 x 36
= 4 x 27
= 6 x 18
= 9 x 12
Dc qd a=1 q=108 ... etc ??? puis avec les diviseurs relatifs ?
donc a S = (-108, -54 ..., 54, 108)
---------------------------------------------
Soit A = (5n-3) / (n+1), n>0
On remarque que 5(n+1)-(5n-3) = 8
a)Pour quelles valeurs de n, A est un entier relatif
A = (5n-3) / (n+1) = 5 - 8/(n+1)
Or 5 donc A <=> 8/(n+1) donc n+1/8
n
1 donc n+1 2 donc
n+3 
donc n=3 ou n = 7
Merci d'avance.
Dans les 3 dernères lignes j'ai inversé les équivalence
c'est plutôt n 
1 donc n+1 2 donc
donc n=3 ou n = 7
Bonsoir,
1)Si divise
et
, alors,
divise
2)a) Si , alors 3 divise
.
Il existe donc entier naturel tel que
.
b) On peut utiliser les congruences:
si alors
si alors
si alors
donc
3) On en déduit donc
:
et
sont premiers entre eux.
Merci Beaucoup Cailloux !! 
Toujours cailloux sauveur est là !
Soit A = (5n-3) / (n+1), n>0
On remarque que 5(n+1)-(5n-3) = 8
a)Pour quelles valeurs de n, A est un entier relatif
On a donc
n=1 ou n=3 ou n = 7
2/a) Pourquoi PGCD ( 5n-3 ; n+1) est-il un diviseur de 8 ? ( cmt faut-il répondre ? Par combinaison linéaire? Car le dernier reste non nul est 8? )
soit d appartenant à l'ensemble des diviseurs de 5n-3et n+1
alors d/ 5n-3 => d/ 5(n+1) -(5n-3) => d/8
d/ n+1 =>
Réciproque (obligatoire ?)
si d appartient à l'ensemble des diviseurs de 8 et n+1
alors d/8
d/n+1 => d/5(n+1) -8 => d / 5n-3
b) En déduire que si n est pair , alors A est une fraction irréductible.
Cela revient-il à dire que n+1 et 8 sont premiers entre eux ?
En effet, si n est pair alors n+1 est impair or les multiples de 8 sont impairs donc ...
c) Quelles sont les valeurs de n telles que : PGCD ( 5n-3;n+1) = 8
c'est à dire 8/n+1
n+1 = k8 avec k
=> n = 8k-1
Bonsoir,
1)a) oui.
2)a) divise
et on a répondu à la question.
2)b) Si est pair,
est impair et tout diviseur
autre que 1 de
et
divise leur PGCD donc divise 8 et
est pair ce qui est en contradiction avec le fait que
divise
impair.
Donc et
est irréductible.
2)c) oui, mais il faut vérifier:
On a bien et
et
sont premiers entre eux.
Donc pour
Bjr et merci !
Mais pour la 2)a) il suffit de montrer que PGCD(5n-3;n+1) divise 5(n+1)-(5n-3)=8
Mais suffit-il de le poser ? Je ne comprends pas comment le fait de le poser justifie ?
Re,
Tout diviseur de et
divise
avec
et
entiers en particulier leur PGCD;
ici, divise
et est donc un diviseur de 8.
La question est bien: "Pourquoi est-il un diviseur de 8?" non ?
Bonjour
pour a)n=0 ou n=1 ou n=3 ou n=7
en effet A entier relatif il faut que 8soit divisible par (n+1)
equivaut a (n+1)appartient Diviseur de 8
equivaut a n+1=1 ;n+1=2 ;n+1=4 ;n+1=8
equivaut a n=0;n=1;n=3;n=7
Bsoir !!
Oui oui la question est telle , non mais je pensais que cela necessité plus de rédaction s'agissant d'un DM ..
Par contre la dernière partie qui concerne les congruences j'ai énormément de mal
a) expliquer pourquoi 2^4 
1 (mod 5)
b) En déduire que pour tous entiers k et r 2^4k+r 2^r (mod 5)
c) Quels sont alors les restes possibles dans la division euclidienne de 2n par 5 ?
d) Démontrer que pour tout entier naturel p 1, 17^(4p+2) + 32^(4p+3) + 3 est divisible par 5
Re bonsoir Cailloux ,
Comment passes -tu de
5n-3=8(5k-1)
n+1=8k
à 5k-(5k-1)=1 donc PGCD(5n-3 , n+1) = 8
pour n=8k-1
Merci
Bonsoir Mathover,
Soit
Cela revient à dire qu' il existe et
tels que:
avec
et
premiers entre eux.
Encore faut-il le vérifier:
Nous avions:
J' ai juste utilisé Bezout pour démontrer que et
étaient premiers entre eux:
et
et
sont bien premiers entre eux.
Remarque que ce n' était pas indispensable puiqu' on avait démontré que divise 8 donc il était au plus égal à 8...
Je n'ai jms vu Bézout ... N'y a-t-il pas une autre méthode ?
Comme je te le disais à 22h22: on peut l' éviter:
est au plus égal à 8 d' après les questions précédentes.
Avec , on a:
, on en déduit directement que
quand
.
Je regarde ton autre exo...
a)
Le reste dans la division euclidienne de par 5 est 1
donc
b)
c) si ,
si ,
si ,
si ,
d) On a: donc
d' après la question précédente.
d' après la question précédente.
et
D'accord merci bcp bcp !!
Je mets du temps à comprendre ...
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