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Arithmétique - récurrence
Salut à tous !
Décidément on va en bouffer toute l'année de la récurrence... même dans l'arithmétique 
Je vous pose mon énoncé en espérant que vous pourriez m'aider...
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On considère les suites (Xn) et (Yn) définies par Xo = 1 et Yo = 8 et :
Xn+1 = (7/3)Xn + (1/3)Yn + 1
Yn+1 = (20/3)Xn + (8/3)Yn + 5
Pour tout n E N
1) Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées (Xn, Yn) sont sur la droite (D) dont une équation est 5x - y + 3 = 0. En déduire que Xn+1 = 4Xn + 2
2) Montrer, par récurrence, que tous les Xn sont des entiers naturels. En déduire que tous les Yn sont aussi des entiers naturels
3) Montrer que
a) Xn est divisible par 3 si et seulement si Yn est divisible par 3
b) Si Xn et Yn ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.
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Voilà je vous remercie d'avance, même si vous ne savez faire qu'un bout d'une question ce n'est pas grave je prends tout 
coucou !
alors déjà pour la démonstration par récurrence :
initialisation : en n=0 on a M0(1;8)
or 5*1-8+3=0 donc la propriété est vraie en n=0
hérédité: pour UN entier naturel n on suppose la propriété vraie, peut on en conclure qu'elle est vraie pour (n+1) ?
soit Mn+1(Xn+1;Yn+1)
on calcule :
5Xn+1-Yn=1+3
= 5(7Xn/3+Yn/3+1)-20Xn/3-8Yn/3-5+2
... = 5Xn-Yn+3=0 d'après l'hypothèse de récurrence
il reste a conclure 
Bon courage !
merci mais j'avais réussi celui là après...
C'est à partir du 2 où je n'y arrive plus
Alors pour l'expression de Xn+1:
5Xn+1=Yn+1-3
et Yn=5Xn+3
tu fais une subsitution et le tour est joué
2/ oulala ma réponse ma parait un peu bête mais voilà
en n=0 X0=1 donc X0élément de N
pour un entier n on suppose que Xn est un entier, peut on déduire que pour n+1, Xn+1 est aussi un entier ?
on a Xn+1=4Xn+2
il apparait bien que Xn+1 est un entier
reste a conclure
la suite tout à l'heure peut-être si j'ai le temps
bon courage
Re bonsoir !
alrs pour la 3/ a)
3|Xn => 3|5Xn et comme 3|3 => 3|5Xn+3=Yn
3|Yn => 3|Yn-3=Xn
donc 3|Xn <=> 3|Yn
b) PGCD(Xn;3)=PGCD(5Xn+3;Xn) et 5Xn+3=Yn
si 3non|Xn alors PGCD(3;Xn)=1 et donc PGCD(Yn;Xn)=1
voilà ton exercice est fait
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