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arithmétique spé

Posté par kajouravleva (invité) 31-10-04 à 15:15

Bonjour,
Je voulais demander votre aide pour résoudre le problème suivant :
On a équation a²-2b²=1. Sachant que a est impaire il faut démontrer que b est paire. Voilà. J'ai essayé de démontrer par absurde mais je ne suis pas arrivée…

Posté par titimarion (invité)re : arithmétique spé 31-10-04 à 15:20

Soit a=2n+1
alors  a^2=4n^2+4n+1
Donc 2b^2=4n^2+4n
b^2=2n^2+2n
ainsi 2 divise b^2
Mais 2 est un nombre premier,
2 divise b*b implique que 2 divise b.

Posté par kajouravleva (invité)re : arithmétique spé 31-10-04 à 15:27

c'est bien ce que tu fais! Mais une petite amélioration: il faut prendre a=2n-1. Car avec a=1 et b=0 ça marche aussi. Mais sinon tu m'as aidé énormément. Je te remercie.

Posté par kajouravleva (invité)re : arithmétique spé 31-10-04 à 17:42

Bonsoir,
Et encore une petite aide svp : on montre comment que a et b sont premiers entre eux ?

Posté par kajouravleva (invité)re : arithmétique spé 31-10-04 à 19:31

Posté par kajouravleva (invité)re : arithmétique spé 31-10-04 à 20:45

Je crois que j'ai trouvé

Imaginons qu'ils ont un diviseur commun m.
a=km et b=gm avec k et g différents
k²m²-2g²m²=1
m²(k²-2g²)=1
k²-2g²=1/m²
k et g sont des nombres entiers. Ce n'est possible que si m=1. Or, si m est égal à 1 a=k et b=g. Dans ce ces a et b sont des nombres premiers entre eux. Donc a et b sont toujours premiers entre eux.



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