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(Arithmétique)Vérification d un excercice.Merci.
Bonjour à tous,
Voila j'ai un exercice à faire pour jeudi et je pense avoir trouvé la solution mais plusieurs de mes camarades ne sont pas du même avis notament les meilleurs de la classe.
Si n est premier, , démontrer alors que tout diviseur de 2
-1 est de la forme 2kn+1 avec k naturel.
Tout d'abord, on peut ramrqué que 2-1 est impair puisque 2
est pair.
Ensuite, 2kn+1 est l'expression d'un entier naturel impair. Si on prend K superieur ou égale à 1 on a alors 2kn+1 qui est l'ensemble des entiers natuels impairs supérieurs ou égale à 7 car kn est un entier naturel superieur ou égale à 3 ().
Or, je pense et c'est là je pense un défault de mon raisonnement, qu'un impair est divisible par seulement un autre impair inférieur à celui-ci. (Y a t-il un thèorème ou une convention à ce sujet?)
Donc, une condition nécessaire pour que tout diviseur de 2-1 soit de la forme 2kn+1 est respecté mais elle n'est pas suffisante.
L'autre condition nécessaire est que 2kn+1 soit strictement inférieur à 2-1 et supérieur à 1.
2kn+1 est bien supérieur(ou égale) à 1 puisque pour K=0 on a 2kn+1=1.
Je pense démontrer, par récurrence, que 2kn+1 est strictement inférieur à 2-1 mais avant tout j'aimerais savoir si mon raisonnement tient la route ou, c'est ce que je pense, s'il n'y a pas une autre méthode.
D'autre part, je ne tient pas compte du fait que n soit premier donc mon raisonnement doit etre faux sauf s'il faut l'utiliser dans la démontrer que 2kn+1 soit strictement inférieur à 2-1 ce que je ne pense pas car apparemment la limite des deux tend vers plus l'infini.
Enfin si vous pouviez m'aider... 
Merci.
Attention, je n'ai pas dit que tout impair divisait un autre impair, j'ai dit que tout diviseur d'un impair était un autre impair.
Vous n'avez pas une autre méthode que je peux appliquer pour résoudre cet excercice?
Merci
Bonjour,
"2kn+1 qui est l'ensemble des entiers natuels impairs supérieurs ou égale à 7" est FAUX.
Prends par exemple n=5.
Les 2kn+1 sont les 1, 11, 21, 31, 41
Nicolas
Il y a quelque chose que je n'ai pas dû comprendre.
L'énoncé me semble faux.
Prenons n=4.
2^n-1=15
Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15.
1 est bien de la forme 2.0.n+1
Mais 3, 5 et 15 ne peuvent pas être mis sous la forme 2nk+1 avec k entier naturel !
Nicolas
bonjour Gonzo
permettez moi de vous répondre
comme n est premier et 2 et n sont premiers entre eux donc d'après le petit théorème de Fermat:
2^(n-1)=1 mod(n)
comme 2^n -1=2(2^(n-1)) - 1
donc 2^n-1=2-1 mod(n)
=1 mod(n)
donc il existe k' tel que 2^n -1=nk' +1
donc 2^n=nk'+2 donc 2 divise nk'
comme 2 est premier avec n donc 2 divise k'
donc il existe k tel que k'=2k
donc 2^n -1=nk' +1
=2nk +1
donc 2^n -1=1 (2n)
soit maintenant un diviseur d de 2^n -1
donc d=1 (2n) donc il existe k tel que d=2nk+1
voila
quant à votre question:
"Or, je pense et c'est là je pense un défault de mon raisonnement, qu'un impair est divisible par seulement un autre impair inférieur à celui-ci. (Y a t-il un thèorème ou une convention à ce sujet?)"
elle évidente car il suffit de penser à sa contraposé.
bon courage
Nicolas a dit:"2kn+1 qui est l'ensemble des entiers natuels impairs supérieurs ou égale à 7" est FAUX.
Prends par exemple n=5.
Les 2kn+1 sont les 1, 11, 21, 31, 41"
J'avais dit, prenons K supérieur ou égale à 1, pour bien faire figurer que 2kn+1 était toujours supérieur ou égale à 7 sauf pour K=0....
Nicolas a dit: Il y a quelque chose que je n'ai pas dû comprendre.
L'énoncé me semble faux.
Prenons n=4.
2^n-1=15
Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15.
1 est bien de la forme 2.0.n+1
Mais 3, 5 et 15 ne peuvent pas être mis sous la forme 2nk+1 avec k entier naturel !
Oui je suis daccord avec toi. J'avais fait répété mon professeur de Mathématiques car je n'en été pas sur mais elle m'avait répété la même chose (2kn+1). Je lui redemande cette apres-midi.
Merci.
Heu Nicolas,4 n'est pas premier.
Mais A quel endroit me suis-je trompé dans mon raisonnement? Car il faut bien utiliser le fait que n soit premier?
Merci à vous tous en tout cas.
Oui oui un grand merci watik...
J'ai trouvé la faille de mon raisonnement
Ensuite, 2kn+1 est l'expression d'un entier naturel impair.
C'est faux. Car n est donné. Donc kn est l'expression d'un multiple de n. Donc 2kn+1 ne prend pas toute les valeurs des impair puisqu'on a déjà choisi n dans 2-1.
Merci à tous pour votre aide.
. Je retourne me coucher !
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