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Au delà du réel

Posté par
Bladest
21-03-05 à 19:18

Salut, on m'a dit qu'il existerait des nombres irréels, des nombres qui ne font pas partie de . Est-ce vrai ? Si oui, est-ce qu'on pourrait m'en citer quelques-uns ? Mais allez-y tout doux, j'suis qu'en seconde.

Posté par
Bladest
re : Au delà du réel 21-03-05 à 19:20

Au fait, excusez-moi si j'ai enfreint des règles. Je viens de voir que ce topic n'était fait que pour les post-bac. Encore pardon.

Posté par
Nightmare
re : Au delà du réel 21-03-05 à 19:38

Bonjour

Il existe les nombres complexes , vu en terminal . L'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes est l'ensemble des nombres z s'écrivant sous la forme \fbox{z=x+iy} avec x et y deux réel et i le nombre imaginaire d'euler vérifiant i^{2}=-1


Jord

Posté par
Bladest
re : Au delà du réel 21-03-05 à 19:45

Ah ouais ? C'est possible ?! Si tu le dis... En tout cas, merci d'avoir répondu.

Posté par
Ksilver
re : Au delà du réel 21-03-05 à 20:33

pour aller un tous petit peu plus loin, il y a 3 grand application des nombres complexe.

1) ressoudre certaine equation mathematique, qui ont des sollution reel mais qu'on ne peut pas determiner si l'on n'admet pas l'existence de "racine d'un negatif" (je pense ici au equation du 3e et 4e degre)


2) en geometrie, en effet les complexes, permettent d'avoir un seul nombre qui definit precisement un point, ou un vecteur (on dira qu'un point M qui a pour coordonné (x;y) a pour "affixe" x+iy ce qui a plein d'application pratique en geometrie : les rotation et agrandissement devienne des multiplication, les translation des additions etc,etc...


3) en electricité, quand on a des courant aleternatif sinusoidaux pour faire tres cour on modelise un courant alternatif par un nombre complexe, et certain composant comme des resistance ayant une valeur complexe (mais sa tu vera pas en terminal)


evidement apres on trouve toujour des application en mathematique pure, mais tu decouvrira tous ceci en terminal (enfin si tu fais S) ...

Posté par
Nightmare
re : Au delà du réel 21-03-05 à 20:47

Re

Est-ce que tu désires savoir si il existe un ensemble autre que \mathbb{R} (et ses sous-ensembles) ou si il existe des nombres autre que les réels ?


Jord

Posté par
Bladest
re : Au delà du réel 21-03-05 à 21:22

Ah, parce que ça revient pas au même ?! Ben, je voulais juste savoir comment ça se pouvait que des nombres ne soient pas réels et quels sont-ils. Mais vos explications m'ont permis de comprendre à quels points ces nombres pouvaient être complexes. Mais je m'en doutais un peu en posant ma question. En tout cas merci à vous deux de m'avoir répondu.

Posté par
Nightmare
re : Au delà du réel 21-03-05 à 21:28

Eh bien , tu te doutes bien que l'univers mathématique ne se limite pas au frontieres du réel Il existe d'autres éléments que les "nombres" si je puis dire . Par exemple , les fonctions sont des éléments , les vecteurs sont des éléments , les ensembles eux même sont des éléments et j'en passe . Et tout ceux-ci sont classé dans différent ensemble , tout comme les réels sont des éléments de \mathbb{R} , les fonctions de I dans \mathbb{R} sont des éléments de l'ensemble noté \mathbb{R}^{I} , l'ensemble des réels est un élément de l'ensemble des partie de \mathbb{C} etc ...

mais je ne t'embrouille pas la tête , arrétons nous aux réels et au complexes


Jord

Posté par
otto
re : Au delà du réel 22-03-05 à 17:07

Es tu sur que i a été introduit par Euler?
J'en doute, notamment, les italiens du 15e siecles utilisaient ce nombre.

On peut même trouver un ensemble de nombre qui se comporte comme R (un corps), qui le contient, et qui n'est pas commutatif (xy différent de yx)

Posté par
Nightmare
re : Au delà du réel 22-03-05 à 17:11

Bombelli (1526-1572) a en effet utilisé ce nombre imaginaire pour résoudre la fameuse équation de Bombelli : x^{3}-15x+4=0 grace à la méthode de Cardan . Seulement il ne le notait pas encore i mais seulement \sqrt{-1} . Euler l'a alors appellé i en 1777 .
Donc en effet , ce nombre a bien était introduit avant , mais c'est Euler qui a pris l'initiative de le noter i . Maintenant peut-être qu'il y a eu une incompréhension dans mon message , en effet , je ne voulais pas dire que c'était Euler qui avait trouvé/inventé ce nombre mais bien que c'est lui qui l'a noté i


Jord

Posté par
Nightmare
re : Au delà du réel 22-03-05 à 17:24

Hum autant pour moi ,petit étourderie , l'équation de Bombelli est :
x^{3}-15x-4=0


Jord

Posté par
otto
re : Au delà du réel 22-03-05 à 17:40

C'est pas tellement grave:

x^3-15x+4=0 est équivalent à
-x^3+15x-4=0
est équivalent à
-(-t)^3+(-15t)-4=0 en posant x=-t
équivaut à
t^3-15t-4=0

Donc si tu sais en résoudre une, tu sais résoudre l'autre

Posté par
otto
re : Au delà du réel 22-03-05 à 17:43

En fait, on veut garder un ensemble aussi facile à utiliser que R (un corps), on considere R auquel on ajoute seulement le nombre i tel que i^2=-1, si on veut qu'il conserve une structure propre et facile à utiliser, alors c'est forcément l'ensemble des x+iy x,y dans R.

Posté par
Nightmare
re : Au delà du réel 22-03-05 à 18:11

C'est d'ailleurs pour cela qu'on dit que \mathbb{C} et \mathbb{R}^{2} sont presques pareils


jord

Posté par
otto
re : Au delà du réel 22-03-05 à 19:10

En fait, ils sont pareil dans un sens.
Algébriquement on a un isomorphisme entre les 2 en tant que R-espace vectoriel.
Analytiquement ils sont homéomorphes.

Cependant l'un est un corps et l'autre non.

Ca peut parraitre peu intéressant, et pourtant ca change vraiment tout, notamment en amalyse, on peut considérer la dérivation dans C, et pas dans R^2, même si on a une "simili"-dérivation. Et en comparant la "même" fonction dans R^2 et dans C, elle peut être infiniment dérivable pour l'un et pas une seule fois pour l'autre.

Notamment, la fonction
(x,y)->(x,-y) est C infinie sur R^2
(x,y)->(x,-y)=x-iy est pas une seule fois dérivable sur C, mais simplement continue...



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