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avec n! (n factoriel...)
Bonsoir...
voila mon petit soucis :
on me donne n! comme étant n factoriel et donc n!=1x2x3x4x5x...xn.et n
1.
je dois tout d'abord montrer que (n+1)!=(n+1)n!
J'ai alors utilisé la méthode par récurrence.
Pour n=0 (n+1)!=1 et (n+1)n!=1 également
Pour n=n+1 on a alors (n+1)!=(n+1)n!=(n+1)(n+2)n!
dc par récurrence et pour tout entier n1 on a bien (n+1)!=(n+1)n!
mon probleme ce pose ensuite...
On nous pose x un nombre réel positif ou nul et k un entier tel que k>x et nk.
je doit alors prouver par récurrence que 
et en déduire
()nx
pourriez vous m'indiquer comment résoudre ces deux questions? Je vous en remercie d'avance.
Voici une aide qui te sera très précieuse. Cet exo me semble assez tordu pour un niveau terminal ! (et en plus, sans grand interêt !)
Mais bon, voici quelques remarques préliminaires,
1) On définit la factorielle d'un nombre entier n par :
n! = n*(n-1)*...*1 si n différent de 0 et 0! = 1 par convention. L'utilisation d'une récurrence pour montrer que (n+1)! = (n+1)n! est un peu pompeuse... applique tout simplement la définition de la factorielle.
2) Pour revenir à tes inégalités, pour la première, il faut montrer que
en effet, tous les termes sont strictements positifs.
On considère alors la première fraction qui est égale à :
car n >= k
ainsi, cette fraction est égale à
en simplifiant haut et bas par k!
ensuite, on remarque que les facteurs du dénominateur sont > k et qu'ils sont au nombre de n - (k+1) + 1 = n-k
donc, en écrivant, que cette fraction vaut :
où chaque facteur est plus petit que 1, on aura, finalement,
fraction de départ <= 1^{n-k} = 1.
d'où
cqfd (ouf !)
b) Pour la déduction, on remarquera que
et le résultat découle de ce qui précéde !
C'était facile, non ? 
Je susi désolée mais je ne comprend pas trop comment vosu avez réussit à démontrer cela...Pouvez vous m'explique d'où sorte les signes égale et 
???
On peut aussi, comme cela t'est demandé, le démontrer par récurrence sur n
il est facile de vérifier que l'inégalité est vrai pour n = k
ensuite, tu prends un n supérieur à k, tu supposes que
et tu cherches à montrer que .
Par quelle fraction faut-il multiplier pour obtenir
?
si cette fraction est plus petite que 1 c'est fini car alors tu auras
Pour la déduction, suis l'indication de Fred (son symbole "différent" représente, je pense, le symbole multiplicatif)
Bon courage
Oui, c'est vrai, c'est un * je n'avais pas remarqué...Je suis tout à fait d'accord avec votre résonnement mais le problème est que je ne comprend pas enfaite ce qu'est un n! j'ai déja pris beaucoup de temps à répondre a la premiere question en n'utilisant pas la méthode par récurrence jugée trop "pompeuse" par fred et je n'aarive pas a trouver par combien multi^plier cette fraction...je suis désolée de vous déranger mais là je me sens vraiment plantée...
n! est le produit de tous les entiers de 1 à n
Tu vois donc, qu'à chaque étape tu rajoutes un facteur, il n'est donc pas nécessaire de démontrer par récurrence que
Ensuite. Puisque tu as déjà démontrer que , tu n'as plus qu'à l'utiliser pour la question suivante
j'ai oublié de finir une égalité
il n'est pas nécessaire de démontrer par récurrence que
Oui, ne vous inquiétez pas, grace a vous et a fred j'ai pu le démontrer, plus rapidement sans utiliser la récurrence
Donc ce que je peut dire ttout d'abord et si on s'occupe seulement deque
équivaut alors à dire que
on pourrait alors dire que
x
=
mon problème ce pose alors ici car je me demende comment arriver à kn et donc supprimer le 1 pour pouvoir trouver la fraction dont vous parliez ci dessus
=0 excusez moi c'est "n"
enfaite je vous pose cette quetion car on sait n est obligatoirement positif mais il peut etre pair ou impaire, de plus x<k et kn et n1 donc x peut prendre des valeurs négatives non???
A partir de ton inégalité
pour tout x, tu peux trouver un entier k tel que x < k
alors que peux-tu dire de (x/k)? Quelle sera la limite de (x/k)n ?
Un petit théorème des gendarmes?
hummm oui bien sur...Ou alors j me demende même si il ne serai pas possible de dire que comme la limite de n! que n tend vers l'infini est égal à +l'infini alors comme l'on sait que xn ne nous donnera que limites constantes quelque soit la valeur de x ou n alors la limite de l'ensemble tend vers 0
Ah non alors!!!
la limite de xn est égale à + oo dès que x > 1. Tu aurais donc une indétermination type "oo/oo".
Si je suit votre raisonnement, pour (x/k) plus la valeur de x est inférieure à k plus le résultat sera petit...docn la limite de (x/k)^n me semble etre 0
Non, x et k sont fixés, et c'est n qui grandit.
si (x/k) < 1 alors (x/k)ntend vers 0
je susi vraiment désolée de ne pas comprendre...je ne pense pas que cet exercice soit de mon niveau...Ou alors je n'ai sans doute pas acquit le bon noiveau...merci quand même, je croi qu'il vaut mieux que j'abandonne cet exercice...
C'est dommage : tu étais presque arrivée au bout
Mais c'est vrai que trois variables dans une même devoir c'est un peu chaud.
Il s'agit seulement de voir x et k comme des paramètres et n comme la variable et de se souvenir de son cours de première : si q appartient à ]-1; 1[ alors qn tend vers 0 uand n tend vers l'infini. Ici, c'est (x/k) qui joue le rôle de q.
Comme tu as pris x/k <1 , tu peux conclure sur la limite quand n tend vers 0 de (x/k)n.
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