L'équation ax²+1=n² est l'équation de Pell-Fermat: elle est toujours soluble, eet les fractions continues sont un outil efficace pour trouver effectivement des solutions (qui sont les numérateurs et dénominateurs d'approximations rationelles de a)
Je crois me souvenir que ax²+c=n² où c²<a est également soluble, mais il faudrait que je retrouve comment...
Que devient cette équation si on ajoute un terme bx ? Si b/2a est entier, on est ramené à un simple changement d'origine, mais dans les autres cas... on doit quand même se ramener à quelque chose de la forme (n/(x+b/2a))²=a+r où r tend vers 0 quand x augmente et utiliser les convergents vers a
Je ne sais pas si ça répond vraiment à la question...
Il y a manifestement des cas insolubles, comme x²+x+3=n²
(puisque n²-x²=x+3 que x=0, 1 ou 2 ne conviennent pas et que pour x>2, x+3<2x+1 qui est la différence minimale entre deux carrés