Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann GéométrieTopics traitant de géométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Barycentre et coordonnées barycentriques

Posté par
DZ92 12-11-17 à 17:46

Bonjour, j'ai des difficultés à trouver la solution de cet exercice.
Peut-être quelqu'un pourrait m'aider.
Merci en avance !

On considère les coordonnées barycentriques relatives à un repère affine A, B, C d'un plan affine. On note A_1, B_1, C_1 les points à coordonnées barycentriques (0,\lambda _1,\mu _1),(\mu _2,0,\lambda _2),(\lambda _3,\mu _3,0) respectivement  et on suppose que ces points sont alignés.

a) M.q \lambda _1\lambda _2\lambda _3 + \mu _1\mu _2\mu _3 = 0

b) Trouvez les coordonnées barycentriques des milieux  A_2, B_2, C_2
des intervalles [AA_1],[BB_1],[CC_1] et déduire de (1) que  A_2, B_2, C_2 sont alignés.

Solution:

J'ai démontré le point a) avec le déterminant des coordonnées barycentriques en regardons les points  A_1, B_1, C_1 comme des vecteurs linéairement dépendant dans l'enveloppe vectorielle.

Pour le point b) je sais que par exemple \lambda _1+\mu _1 = 1 car ce sont des coordonnées barycentriques. Puis pour A_2 j'ai trouvé les coordonnées barycentriques (\frac{1}{2},\frac{\lambda_1}{2},\frac{\mu_1 }{2}) et de même façon pour B_2 (\frac{\mu_2 }{2},\frac{1}{2},\frac{\lambda_2}{2}) et C_2 (\frac{\lambda_3}{2},\frac{\mu_3 }{2},\frac{1}{2}) et je veux conclure par le calcul du déterminant que les trois points sont zéro mais je suis bloqué en cherchant que le déterminant soit 0.

Posté par
DZ92re : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 17:50

je veux conclure par le calcul du déterminant que les trois points sont alignés mais je suis bloqué en cherchant que le déterminant soit 0.

Posté par
lafol Moderateurre : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 22:33

bonjour
il faut le déduire de (1) : qu'est-ce donc que ce (1) ? un énoncé complet serait appréciable ....

Posté par
DZ92re : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 22:45

Pardon, j'ai fait une faute de frappe, il le faut déduire de a) .

Merci

Posté par
lafol Moderateurre : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 22:52

il faut donc que tu utilises quelque part dans ton calcul que le produit des lambdas est opposé au produit des mus
il donne quoi, ton déterminant ?

Posté par
DZ92re : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 23:03

Je trouve \frac{1}{8}+\frac{\lambda _1\lambda _2\lambda _3}{8}+\frac{\mu _1\mu _2\mu _3}{8}-\frac{\mu_1\lambda _3}{8}-\frac{\mu_2\lambda _1}{8}--\frac{\mu_3\lambda _2}{8}

et on utilisons a) ca me donne :

\frac{1}{8}-\frac{\mu_1\lambda _3}{8}-\frac{\mu_2\lambda _1}{8}--\frac{\mu_3\lambda _2}{8}

C'est ici que je ne sais pas quoi faire

Posté par
luzakre : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 23:05

Bonsoir !
"Mq" ? Est-ce une nouvelle injure avec faute d'orthographe ?

Peut-on voir ton calcul de déterminant ? Moi je trouve qu'il est nul.
N'aurais-tu pas oublié que tu as imposé des conditions sur les sommes \lambda_k+\mu_k ?

Ces conditions ne sont pas obligatoires (la somme doit valoir 1 pour des coordonnées normalisées et ce n'est pas toujours commode de les faire apparaître) mais tu as raison (dans ton cas les calculs deviennent plus faciles).
Quand la normalisation demande trop de complications, tu peux multiplier les coordonnées par tout réel non nul qui t'arrange.

Posté par
DZ92re : Barycentre et coordonnées barycentriques 12-11-17 à 23:12

Haha pardon, alors la prochaine fois j'écris "Montrer que" entièrement

J'ai appliqué la règle de Sarrus sur : \left\begin{vmatrix} \\ \frac{1}{2} & \frac{\lambda _1}{2} &\frac{\mu _1}{2} \\ \\ \frac{\mu _2}{2}  &\frac{1}{2}   & \frac{\lambda _2}{2}\\ \\ \frac{\lambda _3}{2}& \frac{\mu _3}{2}  & \frac{1}{2} \\ \end{vmatrix} \right

Posté par
luzakre : Barycentre et coordonnées barycentriques 13-11-17 à 00:02

Tu peux simplifier avant d'utiliser la règle de "truc" (que tu ferais bien d'oublier) : tu auras certainement des déterminants autre que 3*3 à manipuler et tu ne pourras plus utiliser ta "combine" : c'est comme les allumettes, çà ne sert qu'une fois!

Par exemple multiplier chaque ligne par 2 ! Tu ne changeras pas la nullité si elle est vraie.

Soustraire de la première ligne la somme des deux autres : tu auras un coefficient nul et tu pourras te servir plus efficacement de tes conditions de somme 1 pour les coefficients.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !