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Barycentre et suite

Posté par
SuperWoman597 16-04-10 à 15:01

Bonjour je bloque completement sur la question 4 :"en déduire le calcul de Xn" sachant que j'ai trouvé Vn est géometrique de raison u-1 et de premier terme V0= (1-u)²/2-u
J'espere que vous pourrez m'aider !


Voici l'énoncé:

Soit D une droite, B et C deux points distincts de D, (u,v) un couple de réels non nuls de somme 1.
On désigne par A0 le barycentre de (B,u),(C,v), A1 le barycentre de (A0,u), (B,v), A2 le barycentre de (A1,u), (A0,v) et pour tout n >ou= 2, An le barycentre de (An-1,u),(An-2,v). On notera xn l'abscisse de An sur D, dans le repère (B, vecteurBC).

1/ Calculez x0, x1, x2 en fonction de u.

2/ Montrez que pour tout n >ou= 2, on a: Xn = U(Xn-1 - Xn-2) + Xn-2. Écrire cette inégalité pour Xn-1, Xn-2, ..., X3, X2.

3/ Étudiez la suite (Xn) si u=2.

4/ On suppose que u différent de 2. Montrez que la suite
   (Vn) : Vn = Xn - ((1-u)/(2-u)), est géométrique.
   En déduire le calcul de Xn.

5/ Pour quelles valeurs de u la suite (Xn) est-elle convergente?
   Quelle est alors la position limite des points (An) ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Barycentre et suite 16-04-10 à 20:30

Bonjour,

Citation :
j'ai trouvé Vn est géometrique de raison u-1 et de premier terme V0= (1-u)²/2-u


Juste (en supposant u\not=2)

4)Donc v_n=(1-u)^nv_0=\frac{(1-u)^{n+2}}{2-u}

et x_n=v_n+\frac{1-u}{2-u}=\frac{(1-u)^{n+2}+1-u}{2-u}

5) Pour que (x_n) soit convergente, il faut que -1<1-u<1

C' est à dire 0<u<2

Dans ce cas, \lim_{n\to +\infty}x_n=\frac{1-u}{2-u}

La position limite des points A_n est alors le barycentre de \{(B,1);(C(1-u)\}

Posté par
SuperWoman597re : Barycentre et suite 18-04-10 à 17:52

bonjour,
Merci pour ta réponse mais je voudrais savoir pourquoi la position limite est le barycentre stp

Posté par
cailloux Correcteurre : Barycentre et suite 18-04-10 à 17:58

Re,

En appelant A ce point limite et avec 0<u<2:

\vec{BA}=\frac{1-u}{2-u}\vec{BC}

(2-u)\vec{BA}==(1-u)\vec{BA}+(1-u)\vec{AC}

\vec{AB}+(1-u)\vec{AC}=\vec{0}

A est donc le barycentre de \{(B,1);(C(1-u)\}

Posté par
cailloux Correcteurre : Barycentre et suite 18-04-10 à 19:26

Une erreur:

La raison u-1 est devenue 1-u

on a v_n=(u-1)^nv_0=\frac{(u-1)^{n+2}}{2-u}

et x_n=v_n+\frac{1-u}{2-u}=\frac{(u-1)^{n+2}+1-u}{2-u}

Ce qui ne change rien pour la suite.


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