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Niveau école ingénieur
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Barycentres

Posté par
Maesan
20-04-22 à 20:48

Bonjour et merci de me lire.
En fait j'ai eu un problème sur un exercice concernant les barycentres. J'ai noté les vecteurs avec *.

E est un espace affine de direction E* un R-ev
(Ai,ai)1<=i<=n une famille de points pondérés de E
soit f EE*
            Mai(MAi)*

1)Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f soit injective.
f est injective si MNf(M)f(N) quand je pose donc cette condition j'arrive a ai(MN)*=0* or MN par hypothse donc f injective si ai=0
2)Déduire que f est bijective dans ce cas
La seule définition que je connaisse pour montrer que f bijective c'est montrer que f est injective et f surjective .Donc j'imagine dans ce cas que je dois montrer que pour ai=0, f est aussi surjective...
J'ai essaye mais j'avoue que ca n'aboutie a rien, je me demande si c'est cette définition que je dois toujours appliquer

3)Donner la nature de f si f n'est pas bijective
Svp j'ai juste besoin d'indications parce que je ne comprends pas très bien
4)Comment appelle-t-on l'antécédent de 0* par  f? Il s'agit du barycentre des Ai

Merci de m'aider.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 20-04-22 à 20:58

Bonsoir,
Ce que tu as fait en 1) est à revoir.
Quand tu écris ai(MN)*=0*, c'est sans doute que tu es partie de f(M) = f(N).
Tu cherches à montrer que f(M) = f(N) implique M = N ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 20-04-22 à 20:59

Je ne vais plus être disponible, mais reprends 1).

Posté par
Maesan
re : Barycentres 21-04-22 à 06:22

Oups je m'excuse je voulais dire ai(MN)*0* et donc la condition est que ai0*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 21-04-22 à 08:16

Pour f surjective quand ai0 :
Introduire un point K de E pour transformer f(M) avec Chasles.

Posté par
Maesan
re : Barycentres 21-04-22 à 22:35

D'accord je vois
Pour montrer la subjectivité on doit montrer que N*E cherchons M dans E tel que f(M)=N *
KE,N*=ai(MK)*+ai(KAi)*

Prendre M=-(N*)/ai+aiKAi/ai
Donc f est surjective çà passe ?

Posté par
Maesan
re : Barycentres 21-04-22 à 22:36

Et ma condition a été utilisée lorsque j'ai divisé par le coefficient ai qui est non nul

Posté par
Maesan
re : Barycentres 22-04-22 à 05:30

La nature de f si f n'est pas bijective🤔

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Barycentres 22-04-22 à 08:10

Dans ce que tu as écrit pour 2), note plutôt V un vecteur de E* à la place de N.
Par ailleurs, on ne divise pas des vecteurs, encore moins des points. On met un coefficient réel devant un vecteur.
Par exemple, on n'écrit pas "W/2", mais "(1/2).W".
Pour finir, tu écris M = un vecteur alors que M est un point.
Il faut être plus rigoureuse dans tes notations.

Pour 3), on a une relation sur les coefficients qu'il faut utiliser.

Posté par
luzak
re : Barycentres 22-04-22 à 16:11

Fais le calcul de f(M)-f(P).
Tu verras facilement une condition où f est constante (donc non bijective).
Et il te reste à montrer qu'elle est surjective lorsque non constante. Pour cela tu peux fixer UN point P et noter, par exemple, \vec u=f(P).

Posté par
Maesan
re : Barycentres 22-04-22 à 17:12

Merci je ferai cela



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