Bonjour,

J'ai un problème avec tes notations :

Confirmes-tu que les fi sont des éléments du corps K ?
A ce moment là la famille des fi est une famille de scalaire, et non de vecteurs.
Je pense qu'il y a une erreur dans la définition des fi

on a fi(x)=xi+xi+1
(les i sont en indice et jai oublie le x dans la saisie)

Ah alors les fi sont des formes linéaires ! Il fallait préciser de quel espace elles doivent former une base : phi=(fi) est une base de (K^n)* !
C'est bien cela ?

oui

D'accord !

Et bien je t'écoute : que proposes tu pour démontrer cela ?

je voulais determiner la matrice associée à l'application lineaire fi ensuite calculer son determinant etant donnee que i varie de 1 à n je n'arrive pas a le faire.donc j'ai pris le cas ou n =2  (on a pas de base)et quand n=3 (on trouve une base)

Plusieurs questions :

- peux tu me donner la matrice de fi ? (et dans quelle base ?)
- es tu sur que l'on puisse parler de son déterminant ?
- pourquoi veux tu calculer son déterminant ? Avant de calculer quoique ce soit, dis moi comment tu comptes montrer que c'est une base. Quelles méthodes connait-on et ensuite on peut réfléchir à laquelle utiliser ici.

il ya deux methode de resolution :
-prouver que la famille est libre et generatrice
-on calcul le determimant (si le determinant=0 la famille est liee donc ne peut constitue une base sinon la famille est libre)
jai du mal a utiliser latex je ne peux donc pas t'envoyer la matice
mais sur sa diagonale et sa sudiagonale on a des 1 et l'element a_1nest aussi egal a 1 et reste est 0

- libre + génératrice <=> base    : ça on est d'accord
- par contre si le déterminant de la famille est non nul alors la famille est libre et donc quoi ? tu ne montres pas que c'est une base à ce moment là ?

Pour la matrice il me semble qu'il y a confusion : quand tu dis "on calcul le déterminant (si le déterminant = 0 ...) tu parles du déterminant de la famille de vecteurs, c'est à dire ou chaque colonne est les coordonnées dans une base de chaque vecteur de la famille.

Au dessus cependant tu m'as parlé de la matrice de fi comme application linéaire. ("la matrice associée à l'application lineaire fi")

Dans le premier cas, on a n vecteurs d'un espace de dimension n, donc chaque vecteur à n coordonnées, tu obtiens une matrice carré d'ordre n et tu peux prendre sont det, d'accord.
Dans le second cas, fi est une forme linéaire, d'un espace de dimension n dans K, sa matrice est donc une matrice ligne ! Tu ne peux pas prendre son déterminant.

Sans latex la matrice de fi dans la base canonique de K^n est : ( 0 ... 0 1 1 0 ... 0 )  où les 1 sont à la ieme et (i+1)eme colonne
et pour fn : (1 0...0 1)


Donc dans tous les cas, on est d'accord qu'il va falloir montrer que la famille fi est libre, avec ou sans matrice.
La première solution consiste à revenir à la définition : écrire une combinaison des fi = 0 et conclure que chaque coefficient est nul (ici c'est sans doute le plus simple)
La solution avec la matrice de la famille consiste à choisir une base de (K^n)*  (le plus simple étant la base dual canonique), écrire les coordonnées des fi dans cette base, former la matrice de la famille et par exemple calculer son déterminant. Dans ce cas là la matrice ressemble en effet à ce que tu décris : des 1 sur la diagonale et sur la sous-diagonale, l'élément a1n=1 et le reste des 0.

merci je vais essayer les 2 methodes
mais pour le dernier cas peut tu me montrer comment je dois calculer cet determinant

Je ne suis pas un expert du calcul de déterminant, pour celui ci je ne vois pas mieux que de développer par rapport à la première colonne, la décomposition donne deux déterminants "classiques" qui se calculent par récurrence il me semble. C'est pas super. On obtient la même chose en développant par rapport à la première ligne.

oui c'est très fastidiueux dans ce cas là.
mais l'autre methode marche bien . Dites, dans ce cas là , si on me demandait determiner la base duale de (f₁,...,f_n), est-ce que je peux proceder de façon classique par exple si on etait en dimenssion 3, j'allais faire  f₁(f^*₁)=1 ensite f₂(f^*₁)=0 et f₃(f^*₁)=0 et resoudre le systeme et ainsi de suite jusqu'à détermination des (f^*_i)_1in?

Merci!

Tu veux dire la base préduale plutôt non ?

Je sais qu'à un certain changement de base sur la base de K^n correspond un certain changement de base duale, une méthode consisterait donc à expliciter la matrice de changement de base entre la base canonique de K^n* et (fi) puis d'effectuer le changement de base correspondant sur la base canonique de K^n pour trouver la préduale des fi. A vérifier.

Sinon on pourrait peut etre la deviner ici la base préduale vu que les fi ne sont pas trop compliqués. J'y réfléchirai tout à l'heure là je dois y aller.

En espérant t'avoir aidé, bonne soirée.

Bonsoir à vous deux

Je me permets juste apporter une précision sur le calcul du déterminant proposé et vis à vis du dernier message :
¤ Si n=2p, il est alors facile de voir que et donc la famille n'est pas libre.

¤ Si n=2p+1, alors on doit effectivement calculer un déterminant. Par exemple en développant selon la première colonne de la matrice, on est amené à calculer une expression du type : det(A)-det(B) où,
    - A est une matrice triangulaire inférieur avec des 1 sur sa diagonale et
    - B est une matrice de taille , qui suite à une permutation impaire de ses colonnes est aussi une matrice triangulaire inférieur avec que des 1 sur sa diagonale.
Ainsi le déterminant de la famille des (f_i) sera 1-(-1)=2, ce qui nous confirme que c'est une base.

Bonsoir Narhm,