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base de K[x]

Posté par Profil saljer 29-03-22 à 12:20

svp aider moi à résoudre cet exercice
ÉNONCE
On considère une suite de polynômes de k[x] telle que pour tout k dans \mathbb{N} on a deg(P_K)=k
1/montrer que pour tout n\in\mathbb{N}\ la\ famille \ (P_k )_{0\leq k\leq n} est une base de \ K_n[X]

2/ montrer que \ (P_k )_{0\leq k} est une base de \ K[X]
3/on considère le polynômeP=(X-a)^n(X-b)^n
determiner les coordonnés de P dans la base ((X-a)^k)_{k\in\mathbb{N}

jai repondu à 1/ mais  je suis  bloqué en 2 et 3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : base de K[x] 29-03-22 à 13:33

Bonjour,
Utilise 1) pour démontrer que \ (P_k )_{0\leq k} est une famille génératrice, puis une famille libre.

Posté par Profil saljerre : base de K[x] 29-03-22 à 14:11

Merci  sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateurre : base de K[x] 29-03-22 à 17:15

Je n'ai pourtant pas dit grand chose
Tu as trouvé quoi pour 3) ?

Posté par Profil saljerre : base de K[x] 29-03-22 à 22:35

J ai replace (X-b) par ((X-a)+(a-b)) et j ai appliqué la formule du binôme de Newton

Posté par
Sylvieg Moderateurre : base de K[x] 30-03-22 à 08:56

Parfait


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