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base de numeration

Posté par dol (invité) 23-12-04 à 18:02

Si vous pouviez m'aider pour ce problème:

Soit a une base de numération quelconque (a>1).

1. Montrer que la fraction de numérateur 2553a et de dénominateur 3441a est toujours réductible. Même question avec la fraction de numérateur 2346a et de dénominateur 3162a.

2. Dans tous les cas possibles exprimer les fractions irréductibles correspondantes. Quelle est la base donnant les fractions maximales et indiquer celles-ci.

Posté par dol (invité)re : base de numeration 23-12-04 à 21:36

aidez-moi svp

Posté par
franzre : base de numeration 23-12-04 à 23:28

2553_a= 2a^3+5a^2+5a+3 =P(a)
3441_a= 3a^3+4a^2+4a+1 =Q(a)

Recherchons le PGCD des deux polynômes P et Q (algorithme d'Euclide)

3a^3+4a^2+4a+1 \; = \; \frac 3 2 \, (2a^3+5a^2+5a+3) \; - \frac 7 2 (a^2+a+1)
2a^3+5a^2+5a+3 = (a^2+a+1)(2a+3)\; + \; 0

Le PGCD de ces deux polynômes est (a^2+a+1) et on trouve
\{ \array{ccl$ 2a^3+5a^2+5a+3 & = & (a^2+a+1)(2a+3) \\ \vspace{5} \\ 3a^3+4a^2+4a+1 & = & (a^2+a+1)(3a+1) }

donc
\large \frac {2a^3+5a^2+5a+3} {3a^3+4a^2+4a+1} = \frac {2a+3}{3a+1}

               \Large \array{|c150|$ \hline \vspace{5} \\ \frac {2553_a} {3441_a} = \frac {23_a}{31_a} \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline


\large \frac {2a+3}{3a+1} = \frac { \frac 2 3 (3a+1)+\frac 7 3}{3a + 1}=\frac 2 3 \,+ \, \frac 7 3 \, \frac 1 {3a+1}
La fonction \large f: \relstack {{\mathbb N}^* \to {\mathbb R}}{a\to\frac {2a+3}{3a+1}} est décroissante.

La valeur maximale est atteinte pour le plus petit entier dans la base duquel on peut écrire 2553_a \rm { et } 3441_a c'est-à-dire \large a=6 ce qui donne

               \Large \array{|c150|$ \hline \vspace{5} \\ \frac {2553_6} {3441_6} = \frac {23_6}{31_6} = \frac {15} {19} \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline

Posté par
franzre : base de numeration 23-12-04 à 23:38

De la même façon on trouve

               \Large \array{|c150|$ \hline \vspace{5} \\ \frac {2346_a} {3162_a} = \frac {23_a}{31_a} \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline

mais cette fois c'est en base 7 qu'il faut écrire cette fraction.

Posté par dol (invité)re : base de numeration 24-12-04 à 16:44

comment arives-tu à trouver :
3a3+4a²+4a+1=3/2(2a3+5a²+5a+3)-7/2(a²+a+1)
2a3+5a²+5a+3=(a²+a+1)(2a+3)

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 11:34

eclaire-moi stp

Posté par Emma (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 11:51

Salut dol

En fait, franz t'as dit qu'il allait rechercher le P.G.C.D. des deux polynômes P et Q en utilisant l'algorithme d'Euclide...

Peut-être ne le connais-tu pas pour les polynômes... lmais tu sais pourtant que, pour chercher le PGCD de deux nombres a et b, on effectue des divisions euclidiennes successives (jusqu'à ce que l'on obtienne un reste nul, et alors, le PGCD sera le dernier reste non num obtenu...)

Ici, c'est la même chose : on effectue une division euclidienne, mais c'est pour deux polynômes...

Voici mes calculs... j'ai appliqué exactement la même méthode que pour la division de deux nombres...

Je te laisse déjà voir avec ça... si tu as encore des questions... n'hésite pas

@+
Emma



base de numeration

Posté par Emma (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 11:59

Attention : dans mon calcul du reste, j'ai fait une petite erreur de signe : c'est au niveau du calcul de 1\;-\;\frac{9}{2} :
je marque +\;\frac{7}{2} au lieu de -\;\frac{7}{2}


Bon, donc, tu l'auras compris, dans cette division euclidienne, le quotient est \frac{3}{2}, et que le reste est -\frac{7}{2}.a^2\;-\;\frac{7}{2}.a\;-\;\frac{7}{2} = -\frac{7}{2}.(a^2\;+\;a\;+\;1)

D'où l'égalité \;\;\;\;3.a^3\;+\;4.a^2\;+\;4.a\;+\;1\;\;=\;\;\frac{3}{2}.(2.a^3\;+\;5.a^2\;+\;5.a\;+\;3)\;-\;\frac{7}{2}.(a^2\;+\;a\;+\;1)

@+
Emma

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:01

decidement je n'arrive pas à compremdre ta division

Posté par Emma (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:22

Tout en haut :
--> le dividende (3.a3 + 4.a² + 4.a + 1) à gauche
--> le diviseur à droite (2.a3 + 5.a² + 5.a + 3)

Je fais donc la division de (3.a3 + 4.a² + 4.a + 1) par (2.a3 + 5.a² + 5.a + 3)

Pour trouver le début du quotient,  je regarde  la division des termes de plus haut degré (comme pour les nombres, où je regarde la division des chiffres les plus à gauche du dividende par le chiffre le plus à gauche du diviseur)

Ici, je regarde donc (3.a3) divisé par (2.a3)...
Il me vient \frac{3}{2}

Donc je calcule \frac{3}{2} \times [le\;diviseur]
c'est-à-dire \frac{3}{2} \times [2.a^3\;+\;5.a^2\;+\;5.a\;+\;3]

Je trouve a^3\;+\;\frac{15}{2}.a^2\;+\;\frac{15}{2}.a\;+\;\frac{9}{2}

J'écris ceci sous mon divisende, et je fais la soustraction [le\;dividende] - [ce\;que\;je\;viens\;de\;trouver]
c'est-à-dire [3.a^3\;+\;4.a^2\;+\;4.a\;+\;1] - [a^3\;+\;\frac{15}{2}.a^2\;+\;\frac{15}{2}.a\;+\;\frac{9}{2}]

Et je trouve -\frac{7}{2}.a^2\;-\;\frac{7}{2}.a\;-\;\frac{7}{2}

C'est mon reste...
La division s'arrête là, puisque mon reste est de degré inférieur au degré de mon diviseur
(de même qu'avec les nombres, la division euclidienne s'arrête lorsqe le reste est inférieur au diviseur)

-----------
Je poste le tout sans relecture... il risque d'y avoir des erreurs de copier/coller
Mais j'espère que tu comprendras...
-----------

Bon appétit, et à tout à l'heure

Emma

Posté par Mayhem555 (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:26

C'est comme une division posée en potence, sauf que tu utilise des polynome :

on prend le a avec le plus fort exposant de part et on regarde par combien il faut multiplier 2a3 pour obtenir 3a3 :  3/2

une fois qu'on a posé 3/2 on est obligé de multiplié les autres terme du diviseur (en haut à droite de la potence)par 3/2.
donc 3/2*(2a3+3a²+5a+3)  qui donne un polynome. Ce polynome du le retranche au dividende pour obtenir le reste.

  

c un peu confu comme manière d'expliquer mais ca marche exactement comme une division banale.

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:26

merci pour ton aide

Posté par Mayhem555 (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:27

Emma fut la plus rapide et la plus précise. Je m'incline Ca te fais 2 explications pr le prix d'une

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:45

merci à vous tous

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 12:58

est-ce de cela que vous déduisez (a²+a+1) est le pgcd

Posté par Emma (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 14:38

Presque : il te manque une étape pour pouvoir conclure...

--------
Je te rappelle la méthode pour les nombres :
Par exemple, pour le PGCD de 12 et 9 :
Tu fais la divission euclidienne de 12 par 9 :
12 = 1 9 + 3
Tu ne peux pas conclure directement que 3 est le PGCD... la méthode t'invite à continuer, et à effectuer la division euclidienne de ton diviseur (9) par le reste obtenu (3) :
9 = 3 3 + 0
Et là, come le reste est nul... tu en déduis que le PGCD cherché était le dernier reste non nul : à savoir... 3


----------
C'est exactement le même cas pour tes polynômes P et Q :
Tu effectue la division euclidienne de P par Q : tu trouves \;\;\;\;3.a^3\;+\;4.a^2\;+\;4.a\;+\;1\;\;=\;\;\frac{3}{2}.(2.a^3\;+\;5.a^2\;+\;5.a\;+\;3)\;-\;\frac{7}{2}.(a^2\;+\;a\;+\;1)
Mais il faut maintenant efectuer la division euclidienne de ton diviseur (2.a^3\;+\;5.a^2\;+\;5.a\;+\;3) par le reste obtenu (-\frac{7}{2}.a^2\;-\;\frac{7}{2}.a\;-\;\frac{7}{2})

Je te laisse poser cette division, histoire que tu puisses t'entrainer et vérifier si tu as compris)...
MAis, sauf erreur, tu devrais trouver un reste nul...

--> si le reste est bien nul, c'est que le reste précédent était le PGCD cherché...
-->  s'il n'est pas nul, aucun problème : l'algorithme d'Euclide est clair : il faut poursuivre la méthode jusqu'à ce que l'on obtienne un reste nul

@+
Emma

----------
----------
En effet, Mayhem555, mieux vaut avoir deux explications que pas du tout...
En plus, je ne connaissais pas le terme 'potence' pour les division... merci

base de numeration

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 15:20

oui, mais est-ce logique qqu'ici notre reste soit négatif?

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 15:27

Il faut effectuer la division euclidienne de diviseur (2a3+3a²+5a+3) par le reste (-7/2(a²+a+1)). Pourquoi franz l'a-t-il fait par a²+a+1. Je ne comprends pas

Posté par Emma (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 15:39

Bon, déjà, ce n'est pas parce qu'il y a un signe " - " que c'est négatif...


Mais il est vrai que tu as mis le doigt sur un point important...
En réalité, à la fin de l'étape 1, on arrive à un reste égal à    -\frac{7}{2}.a^2\;-\;\frac{7}{2}.a\;-\;\frac{7}{2} = -\frac{7}{2}.(a^2\;+\;a\;+\;1)


Et bien on ne change pas le PGCD en prenant, à la place de ce reste, le polynôme obtenu en divisant le reste par le coefficient dominant (à savoir ici -\frac{7}{2})
Ainsi, on poursuit les calculs avec a^2+a+1 (c'est le reste normalisé : son coefficient dominant est égal à 1) et non pas -\frac{7}{2}.(a^2\;+\;a\;+\;1)

D'ailleurs, si tu reprends les calculs de franz, dans son message du 23/12/2004 à 23:28, tu remarqueras que lorsqu'il applique l'algorithme d'Euclide, il fait, dans un premier calcul,  3a^3+4a^2+4a+1%20\;%20=%20\;%20\frac%203%202%20\,%20(2a^3+5a^2+5a+3)%20\;%20-%20\frac%207%202%20(a^2+a+1).
Puis, dans son second calcul, 2a^3+5a^2+5a+3%20=%20(a^2+a+1)(2a+3)\;%20+%20\;%200... donc il a poursuivi l'algorithme avec le reste normalisé et pas directement le reste obtenu</font>


---------
En réalité, ceci a pour avantage d'avoir des coefficients plus simples (en tout cas, le coefficient dominant est du coup égal à 1)

Par contre, lorsque je te dis que cela ne change pas le PGCD, pour être précise, il faudrait que je rajoute 'à un coefficient multiplicateur près'...

Parce que, là encore, tu peux très bien trouver un PGCD égal à -2.x^2\;+\;4.x\;-\;3, et moi égal à x^2\;-\;2.x\;+\;\frac{3}{2}...
cela ne veut pas dire que l'un de nous deux s'est trompé : nos deux polynômes sont égaux, au facteur multiplicatif (-2) près

------
Ca soit faire beaucoup d'un coup, tout ça, si tu n'avais jamais fait de division de polynômes...
surtout pour un lendemain de réveillon...

@+
Emma

Posté par dol (invité)re : base de numeration 25-12-04 à 16:07

eh bien je vais essayer de comprendre, merci de ton aide et bonnes fetes

Posté par
franzre : base de numeration 25-12-04 à 21:48

Je reviens un peu tard dans la discussion (Noël oblige)base de numeration

J'espère, dol, que tu auras pu comprendre le cheminement que je proposé. J'avoue que si tu n'as pas abordé cete notion de PGCD de ploynômes, ce n'est pas évident au premier abord.

Merci à Emma et Mayhem555 de m'avoir relayé dans les explications et d'avoir apporété un éclairage plus détaillé à mon ébauche de démonstration.


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