Déjà pour simplifier tu peux considérer dans une bonne base orthogonale la matrice de la forme quadratique!

Je peux rendre la matrice diagonale dans une bonne base orthogonale (avec au moins un 0 sur la diagonale).

Supposons que le 0 soit en bas à droite. Cela veut-il dire que le vecteur (0,0,0,...,1) dans cette nouvelle base est orthogonal à tous les autres ?

Orthogonal pour la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique.

Ce qui n'est pas possible puisque la forme est non-dégénérée... Quelqu'un pour m'aider ?

Y a pas de zéros sur la diagonale!

Donc en fait, si je comprends bien, une forme quadratique peut admettre un vecteur isotrope sans qu'il y ait de 0 quand on diagonalise la matrice ?

Bah oui ça n'a rien d'anormal en fait puisque qu'on peut très bien avoir des vecteurs orthogonaux e1 et e2 avec q(e1)=1 et q(e2)=-1 et donc e1+e2 isotrope (puisque q(e1+e2)=q(e1)+q(e2) comme e1 et e2 sont orthogonaux) !

Et donc maintenant je sais qu'il existe x₀Vect(e1,e2,...,en) (la base orthogonale dans laquelle la matrice a été simplifiée) et non nul tel que q(x₀)=0. J'ai donc un premier vecteur isotrope pour ma nouvelle base (qui sera composé de vecteurs isotropes). Et il faut continuer comme ceci... En fait il faut que je montre que je peux en prendre n comme ceci (tels qu'ils forment une famille libre).

Je peux prendre x₁Vect(e₁,e₂), x₁Vect(e₂,e₃), ..., x_n-1Vect(e_n-1,e_n) (à chaque fois comme q(ei)0 je peux m'arranger pour que e_i + e_i+1 = 0). Et là j'ai déjà (n-1) vecteurs isotropes libres, il m'en faudrait un dernier...

Pardon c'est x₁Vect(e1,e2), x₂Vect(e2,e3),etc...

Et je voulais écrire "je peux m'arranger pour que q(e_i + e_i+1)=q(e_i) + q(e_i+1)=0"

Attention

q(a.e1 + b.e2) = a²q(e1) + b²q(e2)

Cette fq admet un vecteur isotrope si et seulement si il y a 2 nombres de signes différents sur ta diagonale
Je pense que tu peux le montrer

Bonjour EvaristeG

Il y a un problème dans ton message de 16:44.
Quant tu dis, "on peut prendre ", qui te dis que ce sera isotrope ?

Exemple : avec , la forme est non dégénérée, possède un vecteur isotrope non nul et la base canonique (e1,e2,e3) de rend q orthogonale mais il n'y a aucun vecteur isotrope dans Vect(e1,e2).

Si tu tiens à donner une construction pour ta base de vecteur isotrope alors il faut que remarque une chose avant : (toujours avec q non dégénérée sur E)
    Pour x un vecteur isotrope et z un vecteur de E tel que (x,z) soit libre alors il existe y dans Vect(x,z) tel que Vect(x,y)=Vect(x,z).

A partir de là, essaye de trouver une base de E sous la forme où pour tout i et x est un vecteur isotrope de q. (b est la forme bilinéaire associée à q). Puis conclus.

Oui en effet s'il y a 2 nombres de signes différents q(e_i)= et q(e_j)=- (avec ,>0) alors e_i + e_j est isotrope.

De plus dans la base orthogonale (qui m'a permis de diagonaliser) il y a forcément 2 nombres de signes différents (sinon la fq serait définie positive ou définie négative). Il faut que je montre qu'à chaque fois que je rajoute un vecteur isotrope dans ma base, je peux toujours en reconstruire un autre (en prenant la restriction de la fq aux (e_k,e_k+1,...,_n) peut-être ?)

Oui oui Narhm je me suis trompé, comme l'a souligné Supernick, quand e1 et e2 sont orthogonaux : q(a.e1 + b.e2) = a²q(e1) + b²q(e2)
et moi j'ai écrit q(a.e1 + b.e2) = a q(e1) + b q(e2) (ça simplifie l'exo )

Bref déjà tu peux large simplifier le problème en prenant une base "orthonormée"

q(ei) = +/- 1 quoi

Oui mais ensuite ? Désolé d'être pressant mais en fait j'ai l'oral des mines demain et j'ai beaucoup d'autres choses à finir...

On va dire que q(e1) = 1, q(e2) = -1
q(e3) = ... = q(ep) = 1
q(ep+1) = ... = q(en) = -1

On choisit
f1 = e1 + e2
f2 = e2 + e3
...
fp-1 = e2 + ep
fp = e1 + ep+1
...
fn-1 = e1 + en

Il manque un vecteur par contre pour avoir une base

Juste une petite précision, ton espace vectoriel est sur un corps quelconque ou sur ?

Bonjour,

Supposons que la forme quadratique s'écrive dans une base bien choisie

x₁² +...+ x_p² - x_p+1² -...-x_p+q²

p > 0, q > 0, p + q = n, dimension de E.

Considérons la famille de vecteurs (e₁ e_j)_{1ip, p+1jp+q}

Cette famille engendre E car
e_i = (1/2)[(e_i + e_j) + (e_i - e_j)]
e_j = (1/2)[(e_i + e_j) - (e_i - e_j)]

(en caractéristique différente de 2).
On peut donc en extraire une base de E. Or chacun des vecteurs de cette famille est isotrope.

Sauf erreur.

Bon, je complète quand même mon premier message même si c'est peut-être trop tard pour EvargisteG...( Bon courage pour ton oral )

Soit E un k-e.v. de dimension n>1 et de caractéristique différente de 2 muni d'une forme quadratique q non dégénérée et isotrope. Je note b la forme bilinéaire associée à q.

Soit x un vecteur isotrope non nul et l'orthogonal de x. q étant non dégénérée, dim H=n-1.
Comme x est isotrope, xH et on peut considérer une base de H.
Soit y un vecteur de E tel que b(x,y)0 (il existe toujours puisque q est non dégénérée). Posons et alors pour tout i et est une base de E vérifiant .

Posons à présent et .
Alors et la famille est une base de E.

On a bien une base de vecteurs isotropes de E.

En particulier, on a pas à connaitre la classification des formes quadratiques sur tel ou tel corps.

> Narhm

Joli