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base duale et forme bilinéaire
Bonjour,
je bloque sur un exercice et sollicite votre aide dessus.
tM : transposée de M
E = Rn-1[X]
a et b deux formes bilinéaires symétrique.
A et B leur matrices.
J'ai trouvé une base B' dans laquelle:
A = tPP et B= tPDP, avec D diagonale.
En notant (u1,u2,...,un) la base duale de B', je ne comprend pas pourquoi:
Soit P,Q appartenant à E,a(P,Q)=somme(k=1..n) (uk(P)uk(Q))
et b(P,Q) = somme(k=1..n)(ak*uk(P)*uk(Q)) où les ak sont les coefficients diagonaux de D.
Merci pour toute aide 
re karim
Il faut interpréter la base duale comme des coordonnées. Plus précisément, si p est un polynôme, les ne sont rien d'autre que les coordonnées de p dans la base B'.
Par ailleurs, on sait que la forme bilinéaire a s'écrit où les
et
sont les coordonnées respectives de p et q dans la base B'. D'après ce que l'on a dit avant, on a pour tout k,
et
d'où le résultat voulu.
On raisonne de la même manière pour la forme bilinéaire b (car ).
Kaiser
En gros, je peux interpréter uk comme l'application qui me donnera la kième coordonnée?
Je ne comprend pas comment tu as réussi à sortir les expressions de a(p,q) et b(P,Q) à partir de leurs expressions matricielles. Juste une ambiguité dans mon énoncé : P est un polynôme et le P qui défini A et B c'est des matrices de passage
En gros, je peux interpréter uk comme l'application qui me donnera la kième coordonnée?
C'est même exactement ça.
Je ne comprend pas comment tu as réussi à sortir les expressions de a(p,q) et b(P,Q) à partir de leurs expressions matricielles.
Tu sais que, plus généralement, si A est la matrice d'une forme bilinéaire symétrique f dans une certaine base B, alors pour tout vecteurs x et y, on a
Juste une ambiguité dans mon énoncé : P est un polynôme et le P qui défini A et B c'est des matrices de passage
En fait, je n'y avais pas fait attention (je ne parlais que du polynôme dans mon post précédent).
Quoi qu'il en soit, j'ai changé tous les P en p dan mon message précédent pour éviter les confusions.
Kaiser
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