salut,

E de dimension 3, donc si la famille est libre, c'est une base.
en raisonnant par l'absurde, si les 3 vecteurs ne sont pas libre, alors il existe a,b,c non nul, tel que
a(i+j)+b(i+k)+c(j+k)=0
(a+b)i+(a+c)j+(b+c)k=0

d'ou
a+b=0
a+c=0
b+c=0

L'unique solution est {a,b,c}={0,0,0}, ce qui contredit l'hypothèse de départ
Donc la famille est libre et c'est une base

(on pouvait aussi calculer le déterminant de la matrice associée)

Pour la seconde question, de facon "bourrin" (avec i,j,k vecteurs)
x'(i+j)+y'(i+k)+z'(j+k)=xi+yj+zk
En identifiant les composantes, tu trouvera la réponse

++
Sylv'

Bonsoir ptitjean. En effet j'avais oublier de préciser que c'était la deuxieme question qui me génait,la premiere consistant à montrer que B' est libre ce que j'ai réussi à faire.

Merci pour ta réponse

Salut,
même idée mais moins de calcul:
si elle est génératrice, c'est une base.
Et en effet c'est facile de voir qu'elle engendre E car on peut recréer la base (i,j,k) à partir de la base B'=(i+j,j+k,k+i)

en effet [(i+j)-(j+k)+(k+i)]/2=i

de même pour les 2 autres vecteurs.
A+

La deuxième question n'est pas difficile:
avoir pour coordonnée (x',y',z') dans la base B'=(e1,e2,e3) c'est s'écrire sous cette forme
x'e1+y'e2+z'e3

si ici e1=i+j e2=j+k et e3=k+i alors ... que vaut cette somme ré-écrite en fonction de i,j,k ?

Merci otto pour ta réponse. J'ai résolu le probleme mais je vais examiner ce que tu proposes