1. Plus simplement une base de l'image de est . Ne confond pas fonction et réel.

Tous les vecteurs du noyau doivent vérifier . C'est une équation différentielle du second ordre, linéaire, homogène et normalisée. Tu devrais connaître la structure des solutions.

2. On en déduit que .

Soit , il existe tel que .

Or , c'est à dire .

Sauf que là, je ne montre que que c'est l'application nulle de et non de .

Non, je crois qu'il s'agit bien de l'application nulle de , mais un petit doute.

3. Pour montrer que c'est bien injectif, il faut résoudre par exemple que tu peux évaluer en plusieurs valeurs judicieuses, mais c'est un peu long.

Sinon écrire la matrice de dans la base en calculant le rang.

Comme l'application constante n'est pas élément de , on a est une primitive qui s'annule en ???

... , non ?

merci de ta réponse. Je viens de rentrer chez moi. Je regarde ce que tu as marqué et je te répond.
merci encore

Alors,

1- En effet ce sont des applications. J'ai confondu le nombre (la valeur) f(x) et f (la fonction).

pour le noyau : en effet en transcrivant f élément de (DoD + IdE) on a f'' + f = 0. il existe donc une infinité de solution. on a donc une dimention infinie.

2- Je pense que montrer que l'application nulle de Im(DoD + IdE) ou de Ker(DoD + IdE) est équivalent. Cependant je ne vois pas bien comment tu déduit que ker(DoD + IdE) = Im(DoD + IdE)

Non la solution de l'équation différentielle est un plan vectoriel engendré par et .

L'image et le noyau sont "engendrés" par la même base, c'est à dire égaux .

Oui mais n'est pas surjective.

3- je prend f Kerf et j'essay de montrer que f est nul.
D(f)

bon, j'ai choisi la technique reloue

en évaluent en x,
(ax + b)sinx + (dx+c)cosx = 0
si x =0
c=0 d'ou,
(ax+b)sinx + (dx)cosx = 0
Je dérive une fois.
tout calculs fait j'obtiens,
asin(x) + (ax+b)cosx -(dx)sinx + dcosx = 0
en évaluant en x = 0
b=- d
je remplace et j'évalue en x = pi/2
on a a*pi/2 = -b
a = -2*b/pi
on peut donc écrire l'équation suivante.
b((-2/pi - 1)sinx -xcosx) = 0
b=0 ou b 0
b=0 => x(asinx + dcosx) =0
x 0, x = pi/90 donc d=0
d'ou a=0
b=0 => (-2/pi - 1)sinx -xcosx) = 0
(-2/pi -1)sinx =xcosx
si on prend x = pi/2
on a -2/pi - 1) = 0 absurde

CQFD.

voilà c'est reloue mais sa marche à peut prés (sauf erreurs).
Sinon pour la méthode matricielle, je vais jetter un coup d'oeil sur mon cours mais je vois pas trop comment faire étant donner que l'on a normalement deux bases la base canonique initiale et la base d'arrivée. Ca mérite réflexion.

Désolé pour toi, mais ce n'est pas qui doit être nul mais . Bon bref, on se comprend je crois...

je comprend mieux pour la 2-
l'équation caractéristique admet un discriminant négatif d'ou les solution d'une équadiff de °2 avec cos et sin.
Ok pour l'égalité du noyau et de l'image.

Maintenant que l'on sait que D est injective, il faut prouver qu'elle est surjective.
Mais c'est évidant par restriction de D à E,
on sait que :
(pour tout) F E, f E / F=D(f)

donc ceci nous montre que D^-1 sera quelque chose avec une intégralle :
D^-1 =
et ceci valable car D bijective i.e. DoD^-1 = IdE,

voili voilou,

a oui désolé c'est D(f) = 0

pardons pour la rédaction de l'intégralle mais c'est je recomance la même erreur avec le nombre et la fonction.
on évalu en x

je ne vois pas pourquoi tu mets f(0) aprés l'intégralle. Est ce vraiment primordial ?
si l'on dérive, la constante dis parée.
cependant si l'on remplace ton f(0) par F(0) une primitive en 0, la constante -F(0) de l'intégrale disprée

En fait pour le 3.) c'est effectivement évident si tu écris la matrice de dans la base . Tu obtiens normalement :



Le rang (voir le déterminant) est facile à obtenir en se ramenant à une matrice triangulaire par blocs (ça saute pas aux yeux, c'est vrai). Tu en tires la dimension du noyau avec le théorème du rang. Pour l'inverse, c'est éffectivement une intégrale mais il faut à tout prix qu'il n'y ait pas de terme constant.

Pardon :