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Base, noyau, image et polynômes.
Bonjour,
J'ai un peu de mal avec le noyau est l'image lorsqu'il s'agit de polynômes; donc ça serait juste pour une petite vérification :
Enoncé :
Soit f : R2[X] ---> R
P |----> P(2)
Déterminer une base de Ker(f). Que dire de im(f) ? Vérifier le théorème du rang.
Donc :
P = a0 +a1X + a2 X²
P(2) = a0 +2a1 +4a2
P(2) =0 <=> a0 +2a1 +4a2 = 0
donc a0 = - 2a1 - 4a2
Ker(f) = { -a1 -4a2 + a1 X +a2 X² | (a0,a1,a2) € R^3 }
= Vect ((-2 + X) ; (-4 +X²))
Avec ((-2 + X) ; (-4 +X²)) une famille génératrice de Ker(f), hors les polynômes ont des degrés différents, donc elle est libre, donc c'est une base; Ker(f) est donc de dimension 2.
On voit que Im(f) est de dimension 1, car f arrive dans R.
Théorème du rang :
rg(f) + dim(ker(f)) = dim (R2[X])
soit 1+2 = 3, donc le théorème du rang est bien vérifié.
Est-ce correct ?
merci par avance,
Bonjour,
Oui, à part
Ker(f) = { -a1 -4a2 + a1 X +a2 X² | (a0,a1,a2) € R^3 }
hors Or les polynômes ont des degrés différents
salut
quelques remarques :
il est triste quand on ne sait pas (faire l'effort d') écrire des indices de ne pas savoir que l'alphabet possède 26 lettres ...
et ne pas oublier la variable ...
donc écrire simplement P(x) = a + bx + cx^2 est autrement plus lisible ..
quant au résultat dire que P appartient au noyau est équivalent à dire que 2 est une racine de P
donc tout polynome de la forme (x - 2)Q(x) appartient au noyau ...
tu as choisi une méthode qui donne Q(x) = x + 2
mais Q(x) = x - 2 donc P(x) = (x - 2)^2 convient aussi
quant à l'image tout ploynome non constant y appartient donc sa dimension est supérieure à 1
et puisque la dimension du noyau est 2 elle est évidemment 1 ...
Salut carpediem,
il est triste de ne pas remarquer que, l'espace d'arrivé étant de dimension 1, la dimension de l'image est au plus 1.
Et, en considérant les polynômes constants, il est facile de voir que la dimension de l'image est au moins 1.
On en déduit que la dimension du noyau est 3-1.
C'est d'ailleurs le cas pour toutes les formes linéaires : le noyau est un hyperplan.
bien sur ... mais comme on commençait par le noyau ...
mais il est vrai que je n'ai pas pensé forme linéaire ... et je suis triste ... 
et ce que tu écris n'est pas contradictoire avec ce que j'ai écrit ... 
bonjour,
tout d'abord, merci pour vos réponses;
j'aimerais juste avoir une petite précision : arrive dans
donc sa dimension est au plus 1 et comme les polynômes constants appartiennent à l'image elle est au moins égale à 1, donc sa dimension est 1; est-ce bien cela ?
quant à l'image tout ploynome non constant y appartient donc sa dimension est supérieure à 1
Et, en considérant les polynômes constants, il est facile de voir que la dimension de l'image est au moins 1.
oui les plolynomes constants montre que le rang est au moins 1
la dimension de l'espace d'arrivée montre que ce rang est au plus 1
...
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