J'ai omis un vecteur: (-2,4,-5,7).

Bonjour toureissa.
Si le sous-espace vectoriel de engendré par ces 4 vecteurs est tout entier, l'orthogonal va être facile à trouver.

Sinon, commence déjà par déterminer de quel sous-espace il s'agit (bon, ici, la rang des 4 vecteurs est 2)

Je trouve  que F est engendré  par (1,1,1,1) et (1,3,0,4) . et que c'est le plan d'équation 2x-2y-z+t=0.

Comme maintenant  on sait que la dimension  de l'orthogonale de F est 2.
Et que le vecteur (2,-2,-1,1) appartient à  l'orthogonale  de F.

C'est qui m'étonne  est que F est de dimension  2, alors qu'on voit que c'est  le noyau d'une forme linéaire  non nulle,  donc c'est un hyperplan.

On est en dimension 4, donc comme tu le dis, la forme linéaire non nulle a pour noyau un hyperplan ... mais de dimension 3.

Or F est de dimension 2, donc il existe une autre forme linéaire dont le noyau se recoupe avec celle du dessus pour définir F.

Je n'arrive  pas à  trouver  une deuxième  équation.

Voici comment  j'ai fait.

ils existent  a et b deux réels  tels que
ssi

[x=a+b ;  y=a+3b ;  z=a ; t=a+4b] ssi

[b=(y-x)/2;  a=z ;  t=a+4b] ssi

t=z+2y-2x ssi

2x-2y-z+t=0.

Il y a plusieurs façon de procéder et je t'en montre une :

F étant engendré par (1,1,1,1) et (1,3,0,4), est l'ensemble des points de la forme (a+b,a+3b,a,a+4b)

C'est donc l'ensemble des points de la forme (x,y,z,t) tels que :

x = a+b
y = a+3b
z = a
t = a+4b

c'est-à-dire

x = z+b ou encore x - z =b
y = z+3b
z = a
t = z+4b

puis

x = z+b
y = z + 3x - 3z
z = a
t = z + 4x - 4z

x et z sont libres et donc F est le plan dont les deux équations sont :

3x - y - 2z = 0
4x - 3z - t = 0

Mais pour répondre à la question, on va utiliser, j'imagine, le procédé de Gramm-Schmidt en constatant que les vecteurs (1,0,0,0) et (0,1,0,0) sont libres et dans le complémentaire de F.

je vois l'autre  équation  c'est  x+y-z-t=0

Donc  (u, v)  avec u=(1,1,-1,-1) et v=(2,-2,-1,1)  est une base de l'orthogonale de F.

Op j'ai pas vu ce message.

Je n'ai pas compris  cette phrase  :

une autre façon de dire les choses :

dans les quatre équations suivantes :

x = z+b
y = z + 3x - 3z
z = a
t = z + 4x - 4z

seules y et t dépendent complètement de x et z.

x ne dépend que de b qui est un paramètre libre (x peut prendre n'importe quelle valeur réelle indépendamment de la valeur de z)
z ne dépend que de a qui est un paramètre libre.

Merci j'ai compris  l'exercice.