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Base orthonrmale
Bonjour à tous,
Connaissez vous une condition nécéssaire et suffisante (pour le corps des réels) concernant l'existence d'une base orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique (ou forme quadratique ? )
Merci d'avance pour vos réponses ...
Bonjour
Toute forme bilinéaire symétrique admet une base orthogonale. Elle admet une base orthonormale si et seulement si elle est non-dégénérée positive.
Bonjour.
Considérons un R-espace vectoriel E de dimension finie, f une forme bilinéaire symétrique sur E.
Alors, f possède au moins une base f-orthogonale B = (e1, ..., en).
Cependant, si le rang de f est r, n-r de ces vecteurs sont isotropes : f(ei,ei) = 0. Donc, pas moyen de les normer. Il faut donc que f soit définie.
Si f n'est pas positive, il existe des vecteurs de cette base tels que f(ei,ei) < 0, donc difficile de rendre leur norme égale à 1.
conclusion : l'existence de bases f-orthonormales équivaut à f définie positive, donc f produit scalaire.
A plus RR.
Oki, Merci raymond,
j'ai une remarque
Cependant, si le rang de f est r, n-r de ces vecteurs sont isotropes : f(ei,ei) = 0. Donc, pas moyen de les normer. Il faut donc que f soit définie
C'est une condition nécéssaire, pour le montrer , (toutes les matrices associées de f dans cette base ont le même rang, Or s'il existe une base orthonormale, la matrice associée à f de cette base est In qui est de rang n ..
mais elle est pas suffisante , contre exemple q(x,y) = x^2 - y^2
elle est juste cette preuve?
Dans mon topic, je t'ai montré qu'il fallait qu'elle soit définie et positive.
Définie seule ne suffit pas.
Bonjour Camélia.
A plus RR.
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