Déjà : Comment tu peux avoir rg(f) = 3 et dim(Kerf) = 1?


Quel est le rang de f ? Essaie de donner alors suffisamment de vecteurs de Im(f) pour avoir une base de Im(f)

Salut !

Effectivement, tu dois connaitre le théorème du rang non ?
    
     dim E = dim ker f + rg f.

Manifestement ici ton espace de départ est de dimension 3, ce qui est en contradiction avec tes calculs.
Un calcul de rang rapide avec le pivot de Gauss te permettra d'infirmer une de tes deux affirmations.

Effectivement j'ai du me planter :/
Du coup j'ai un gros doute, comment je trouve la dimension de Ker(f) ?

@Supernick :
C'est à dire ? Vect[(2,-1,-1);(-1,2,-1);(-1,-1,2)] ne suffit pas pour la base de Im(f) ?

Oulà non tu sais ce qu'est une base?

Je le savais...un petit coup de vacances d'été et tout est oublié :/

Une base est une famille libre et génératrice non ?
C'est à dire composé de vecteurs linéairement indépendants et avec lesquels on peux exprimer n'importe quel vecteur via une combinaison linéaire de ces derniers... non ?

Dans ce cas, comment obtenir la base de Im(f) ?
Celle de Ker(f) est correcte non ?

Salut !

Déjà un conseil, commence par calculer le rang de ta matrice.
Une fois cela fait, tu seras sûr que oui, le vecteur que tu as trouvé est bien une base de ker f.
Ensuite pour une base de Im f, l'idée est de trouver deux vecteurs appartenant à Im f et indépendants.

Ok, Merci !
Je viens de revoir comment calculer le rang, donc j'ai calculé celui de la matrice, en passant par 2 pivots de Gauss j'arrive à

A= 2 -1 -1
   0  3 -3
   0  0  0

Donc je trouve rang(f)=2
D'après le théorème du rang j'ai donc dim Ker(f)=1, et dim Im(f)=2

Et donc, du coup, j'ai la base de Im(f) qui vaut [(-1,3,0)(-1,-3,0)], non ? (vu que C1=-(C2+C3) )
Ou alors je suis totalement a coté de la plaque pour la base de Im(f) ? J'ai un gros doute :/

Effectivement le calcul du rang de ta matrice te donne bien ce résultat.
     Donc d'une part, le vecteur e1 que tu avais calculé précédemment te donne bien A.e1 = 0, il appartient à ker f et ker f étant une droite vectorielle tu as bien e1 est une base de ker f.
     Ensuite pour la base de Im f, surtout pas de pivot de Gauss, tu sais par avance que deux des colonnes de ta matrice sont indépendantes, qu'obtiens tu alors si tu effectues :

                        A.(1,0,0) et A.(0,1,0) [ multiplication matricielle ]

Soit X(x,y,z) de Kerf.
AX= .
--> x=y=z.
--> X= vect{(1,1,1)} ({(1,1,1)} est base de Kerf)
--> Rangf= dimf=2.
{f(e1),f(e2)} est libre de Imf (facile à vérifier) de cardinale égale à la dimention de Imf --> c'est une base.

Ok, donc la base de Im(f) c'est simplement [(2,-1,-1),(-1,2,-1)], effectivement le pivot de gauss ne servait pas à grand chose ^^

Petit soucis ensuite, pour montrer que Im et Ker sont des sev supplémentaires, je vois pas trop d'où partir :/
Quelqu'un aurait une piste ?

On a Dim Kerf + Dim Imf = Dim
Il suffit donc de montrer que Kerf Imf = {0}.
Soit X(x,y,z) KerfImf.
Ceci --> x=y=z et X vect{(2,-1,-1),(-1,-1,2)}
     --> a,b R tq:
         x = 2a-b.
           = -a+2b.
           = -a-b.
     --> x=y=z=0
     --> X=(0,0,0).
CQFD.

Hum d'accord, merci, il suffisait de montrer que l'intersection était vide, rien de bien compliqué en fait :/

Pour 2, c'est simple:
Tu montre seulement qu'il s'agit d'une famille libre car de card égale à Dim .
Pour exprimer la matrice de f dans la nouvelle base, sers-toi de la matrice de passage.