???

Tu as montre que u,v,w est liee.

Donc w appartient a Vect(u,v).
Donc Vect(u,v,w) = Vect(u,v)

Si (u,v) libre, ca te donne une base de Vect(u,v).

Bonjour letonio

Le fait que (u,v) soit libre set immédiat. Comme (u,v,w) est liée alors, on en déduit immédiatement que wVect(u,v), d'où Fvect(u,v) donc F=vect(u,v) (l'inclusion inverse étant évidente).

Ainsi, F est de dimension 2.

Kaiser

Oui c'est vrai... J'avais oublié cette propriété. Encore une. Par contre je sais comment la démontrer. C'est déjà ça
Il y a vraiment beaucoup de choses à retenir et à intégrer... Pas évident tout ça.

Ok. J'ai donc montré que
F= vect(u,v,w)= Vect(u,v)
et (u,v) est libre
donc (u,v) est une base de F

3)Soit G={(x,y,z) dans IR^3 | x+2y+z= 0}
J'ai montré que G est un ss-ev de IR^3.
Déterminer une base de G.
Je ne sais pas trop comment on fait.
J'ai juste repéré que (u,v) appartiennent à G, et je suppose que si je montre que  tout élément de G peut s'écrire comme combinaison linéaire de u et v, c'est gagné...
u et v appartiennent à G et G ss-ev. Donc vect(u,v) est inclu dans G
Je voudrais montrer que Vect(u,v)= G  ce qui me permettrait de conclure que (u,v) est une base de G. Mais je ne sais pas comment montrer l'autre sens .

Rebonjour

Tu peux dire que comme la famille (u,v) est libre et que vect(u,v)G, alors la dimension de G est soit égale à 2, soit égale à 3. Si elle était égale à 3, cela voudrait dire que G=³, ce qui n'est pas possible puisque par exemple, le vecteur (1,0,0) n'est pas dedans. Ainsi, G est de dimension 2 et (u,v) est une famille libre de G, alors (u,v) est une base de G.

Kaiser

Qu'est ce qui te permets de dire que la dimension de G n'est pas 3. Je ne comprends pas ton contre-exemple. Peux-tu détailler un peu plus?

Tu sais que si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie avec E inclus dans F, alors si E et F ont même dimension, alors on a l'égalité E=F.

C'est exactement ce que je disais tout à l'heure. En fait, on a bien G inclus dans ³ qui est de dimension 3. Donc si G était de dimension 3, alors on aurait l'égalité G=³. Or, on voit que le vecteur (1,0,0) (qui est dans ³) n'est pas dans G, ce qui contredit le fait que G=³, et donc G n'est pas de dimension 3 (donc G est de dimension au plus 2). Et comme cette dimension était déjà supérieur ou égale à 2, alors elle vaut 2.

J'espère que cette explication te paraîtra plus clair.

Kaiser

je finis par vraiment me perdre dans toutes ces propriétés. J'ai une question sans doute bête: qu'est ce qui permet de dire que la dimension de G est >=2 ?

??

Comme (u,v) est une famille libre, alors Vect(u,v) est un espace vectoriel de dimension 2.
Comme vect(u,v) est inclus dans G, alors la dimension de G est supérieur ou égal à 2.

J'utilise le fait que si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, alors si E est inclus dans F, alors dim EDim F

Kaiser

Comme (u,v) est une famille libre, alors Vect(u,v) est un espace vectoriel de dimension 2.
Désolé d'insister :/
Je ne retrouve pas dans mon cours la propriété (et la démonstration) qui permet d'écrire ça. Est-ce que quelqu'un a le courage de me faire la démonstration?

(u,v) est bien une famille génératice de vect(u,v) par définition de vect.
et comme (u,v) est déjà une famille libre, alors c'est une base de vect(u,v). Par définition de la dimension, vect(u,v) est un espace vectoriel de dimension 2.

Kaiser

Super J'y vois plus clair.
Merci à vous tous