Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Probabilité : Conditionnement - IndépendanceTopics traitant de Probabilité : Conditionnement - Indépendance [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

bernouilli ??

Posté par no_kiss (invité) 12-04-05 à 11:37

Salut tout le monde.

J'ai besoin d'un pitit coup de pouce pour cet exo que je comprend pas du tout.

On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l'espérance mathématique de Sn notée E(Sn) est égale à 10.
Soit p la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée.

1) Calculer p, puis justifier l'égalité P(Sn=k)=(k parmi n)(10/n)^k(1-10/n)^(n-k) où k est un entier naturel tel que 0<=k<=n. -->schéma de bernouilli mais je n'arrive pas à le mettre en place.

2-a) Etablir l'égalité :

ln[P(Sn=0)]=3$-10*\frac{ln(1-\frac{10}{n})}{\frac{-10}{n}}
où ln désigne la fonction logarithme népérien ;
en déduire que limite qd n tend vers oo P(Sn=0)=exp(-10)

Pour le reste je pense que si je suis lancée, je pourrais me décrouiller. Si j'ai des problèmes je reviendrait.
Merci pour l'aide
bye et bonne vacance à la zone B !!

Posté par
Flo_64re : bernouilli ?? 12-04-05 à 12:37

Connais tu la formule d une binomiale comment elle est définie enter l'espérance et la variance.
Donc en fait p est définie par cette binomiale

P(Sn=k) c'est la somme entre k et n je pense tu reviens à la définition d'une proba.
ensuite tu sépares les teta afin de faire apparaitre la formule demander

Tu parts de cette égalité, tu utilise l'égalité demontrer en 1
P(Sn=0)
et là c'est de la forme (1-q^(n+1))/(1-q)
Tu passes en ln de chaque côté et tu trouves l'égalité demandé

Est ce plus clair?

Posté par no_kiss (invité)re 12-04-05 à 12:49

je trouve ça un peu trop "tordu" à mon goût, j'ai du mal à comprendre.

Posté par no_kiss (invité)re : loi binomiale 12-04-05 à 18:50

SVP, est-ce que qqn pourrait m'expliquer avec plus de détail ?
MERCI

Posté par
H_aldnoerre : bernouilli ?? 12-04-05 à 19:54

slt


je reprend tout d'abord ton énoncé en soulignant les mots importants :

On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale

la formule est donnée : il te suffit de determiner la probabilité du succés qui d'aprés la formule vaut 3$p(S)=\frac{10}{n}

ainsi on appliquera la formule du cours pour retrouves celle donnée ds l'exo ...

4$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}.(p(S))^k.(1-p(S))^{n-k}

reste a justifier cette probabilité ...


@+ sur l'ile _aldo_

Posté par no_kiss (invité)re 12-04-05 à 19:59

Il est bien là mon problème.
comment je prouve ceette probabilité ?

Posté par
H_aldnoerre : bernouilli ?? 12-04-05 à 20:08

re


il est aussi dit ds l'énoncé que 3$E(S_n)=10 or s'agissant d'une loi binomiale on sait que : 3$E=n\times p d'ou 3$p=\frac{E}{n} et en remplancant on obtient : 3$p=\frac{10}{n}


@+ sur l'ile _aldo_

Posté par no_kiss (invité)re 12-04-05 à 20:11

ah oui pas bête
merci Aldo
je vais essayer de continuer mais à mon avis, je vais vite revenir pour la suite...

Posté par
H_aldnoerre : bernouilli ?? 12-04-05 à 20:15



no prob ... enfin si je suis encore la ...




@+ sur l'ile _aldo_

Posté par no_kiss (invité)établir l égalité 12-04-05 à 20:34

Je me doutais bien que j'allais revenir !! Mais ça commence à m'énerver
Enfin bref, pour la 2-a), J'ai P(Sn=0)=(1-10/n)^n
je vois pas comment faire apparaître les autres termes. Pour ln il suffit de multiplier les deux côtés par ln mais le reste...

Posté par
H_aldnoerre : bernouilli ?? 12-04-05 à 21:23

re


on veut montrer que :
3$ln(P(S_n=0))=-10\times\frac{ln(1-\frac{10}{n})}{\frac{-10}{n}}

on vient de démontrer que :
3$P(S_n=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}.(\frac{10}{n})^k.(1-\frac{10}{n})^{n-k}

soit :
3$P(S_n=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}.(\frac{10}{n})^0.(1-\frac{10}{n})^{n-0}=1\times1\times(1-\frac{10}{n})^n=(1-\frac{10}{n})^n

donc :
3$ln(P(S_n=0))=ln((1-\frac{10}{n})^n)=n.ln(1-\frac{10}{n})=\frac{-10}{-10}.n.ln(1-\frac{10}{n})=-10.\frac{n}{-10}.ln(1-\frac{10}{n})=-10.\frac{ln(1-\frac{10}{n})}{\frac{-10}{n}}


@+ sur l'ile _aldo_

Posté par oceane16 (invité)meme probleme 23-04-05 à 22:24

moi aussi j'ai cette exo a faire le prob c'est que je n'arrive aps non plus a faire la suite :

b. démontrer que : p(Sn=k+1) = p(Sn=k)*(n-k)/(n-10)*(10)/(k+1) ou k est un entier naturel tel que 0<k<n-1

c. démontrer que si lim n-> infini p (Sn=k)=e^-10 (10^k)/ (k factorielle) pour 0<k<n   alors on a également  lim p (Sn=k+1) = E^-10 (10^k+1)/ ((k+1)factorielle) pour 0<k+1<n

merci pour votre aide

Posté par
H_aldnoerre : bernouilli ?? 24-04-05 à 01:57

slt


va voir ici :
quelques questions sur les probas

@+ sur l'ile _aldo_

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 21-03-06 à 20:43

svp pourriez-vous mider ?

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 21-03-06 à 20:49

svp pourriez-vous mider ?

Posté par noella2 (invité)schéma de bernouilli 21-03-06 à 22:19

1/ soit A "un scooter est accidenté" un évènement d'un espace probabilisé fini (omega, B(omega), P)
X la variable aléatoire définie sur omega par
2 résultats possibles réussite ou échec

X(w)=1 pour w appartenant à A  X vaut 1 si A réalisé (situation de réussite scooter accidenté)
X(w)=0 pour w appartenant à A barre X, évènement alternatif vaut 0 si A non réalisé (situation d'échec scooter non accidenté)
X est dite  variable alatoire de Bernouilli de paramètre(1,p)
Sa loi dite loi de Bernouilli est définie par
P(X=1)=p         car (X=1)=A (réussite scooter accidenté)
P(X=0)= 1-p      car (X=0) = A barre (échec scooter non accidenté

2/ Sur espace probabilisé fini (omega, B(omega), P)
on considère n variables indépendantes et de même loi de proba que X. Le fait de consdérer n scooters est comme si on répétait l'epreuve n fois de manière sembalble (donc indépendante
on associe la va Sn= X1+X2+++Xn
Xi=1 A est réalisé
Sn le nombre d'expériences est réalisé
Sn prend les valeurs 0,1,2 ....n avec la proba
k =1....n p (Sn=k)= Ckn p^k (q^n-k)
k=nombre de succès avec proba p
n-k= nombre d'échecs avec proba q=1-p
Sn suit B(n,p)

pE(Sn)=10
on sait que E(Sn)=np
10=np
10/n=p
donc Sn suit B(n,10/n)
p(Sn=k)= Ckn (10/n)^k ((1 -10/n)^n-k)
X suit Bernouilli (1,10/n)
cqfd


2-a) Etablir l'égalité :

P(Sn=0)=C0n p^0 (q^n)
= q^n = (1-10/n)^n

ln p(Sn=0)= n ln (1-10/n)
ln p(Sn=0)= - 10*n ln (1-10/n)
            ---------------
              - 10
ln p(Sn=0)= - 10*n/n ln (1-10/n)
            ---------------
              - 10/n
ln p(Sn=0)= - 10* ln (1-10/n)
            ---------------
              - 10/n

cqfd

en déduire que limite qd n tend vers oo P(Sn=0)=exp(-10)
si n tend vers+ infini
-10/n tend vers 0
on pose -10/n=u
qd u tend vers 0 ln u/u tend vers 1
donc ln p(Sn=0) tend vers -10
eln p(Sn=0)  tend vers e(-10)
P(Sn=0) tend e(-10)
Ouf












Posté par noella2 (invité)message pour océane 16 point b 22-03-06 à 12:04

b. démontrer que : p(Sn=k+1) = p(Sn=k)*(n-k)/(n-10)*(10)/(k+1) ou k est un entier naturel tel que 0<k<n-1

début de réflexion
on va essayer de montrer la relation de récurrence entre
p(Sn=k+1) et P(Sn=k)
          
                n!         p^(k+1)*q^(n-k-1)
             ------------
P(Sn=k+1)    (k+1)!(n-k-1)!
-------- =---------------------------------
p(sn=k)        n!     p^k*q^k
              -------------
              k!(n-k)!

on simplifie

p*q^-1 k!(n-k)!
------------
(k+1)!(n-k-1)!

p (n-k)
= ------------
  q*(k+1)

p=10/n et q= 1-10/n=1n-10
                     ----
                       n

la relation de récurrence devient
   10/n*(n-k)

= ---------------------
     (n-10) k+1
      ----
       n
= (10)(n-k)    
  ----------
    (n-10)(k+1)
  

Donc p(Sn=k+1)= p(Sn=k)*10(n-k)
                ----------------
                (n-10)(k+1)

cqfd

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : bernouilli ?? 22-03-06 à 12:26

Tant qu'à faire, essayons de ne pas estropier le nom de cette famille prestigieuse:

Bernoulli et pas Bernouilli.



Posté par noella2 (invité)cas soumis par Océane point b 22-03-06 à 16:08

lim p(Sn=k+1)=
lim p(Sn=k)* 10(n-k)
            ----------
            (n-10)(k+1)

= e^-10 (10^k) * 10 (n-k)
   ------------------
        k! (n-10)(k+1)

= e^(-10)*10^(k+1)*(n-k)
       ---------------------
       k! (k+1) (n-10)

= e^(-10)*10^(k+1)*(n-k)
       -------------------
       (k+1)! (n-10)


= e^(-10)*10^*(n-k)
       ------------
       (k+1) (n-10)

== e^(-10)*10^*(n-k)
       -------------
       (n-10) (k+1)

cqfd

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 23-03-06 à 11:39

Bonjour j'ai une derniere question à traiter mais je n'y arrive pas pourriez-vous m'aider ?merci d'avance

d) Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier k tel que 0<ou= k<ou= n
lim  p(Sn=k)= e^(-10)*(10^k/k!)

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 23-03-06 à 14:18

pourriez-vous m'aider pour cette question svp ?

Posté par noella2 (invité)re : bernouilli ?? 23-03-06 à 15:11

bof. j'ai essayé. mais sans résultat.

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 24-03-06 à 21:39

Bonsoir

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cette question svp ?

d) Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier k tel que 0<ou= k<ou= n
lim  p(Sn=k)= e^(-10)*(10^k/k!)
merci davance

Posté par noella2 (invité)re : bernouilli ?? 25-03-06 à 00:34

Aure,
Je reconnais une loi de Poisson. En effet sous certaines conditions une binomiale peut être approximée par une loi de Poisson. je en me rappelle plus comment on fait.
Peut être en cherchant sur internet "approximation d'une loi binomiale par une loi de poisson".

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 26-03-06 à 11:55

Je n'y arrive pas

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 26-03-06 à 19:00

????

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 28-03-06 à 12:42

Bonjour pourriez-vous m'aider pour cette question:

démonter que si lim p(Sn=k)= e^-10 *(10!/k!) que l'on a également lim p(sn=k+1)= e^-10 *(10^(k+1)/(k+1)!
                n->+00                                            n->+00

Posté par aure8859 (invité)re : bernouilli ?? 28-03-06 à 12:59

aidez moi svp


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !