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Besoin d aide exponentielle!
J'ai un méga problème en maths et je suis bloqué de chez bloqué si quelqu'un pouvait m'aider ca m'arrangerai! Voilà le sujet :
Le but du problème est l'étude de la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +inf [ pa: f(x)=ln(e^(2x)-1)/exp(x).
Première partie
Etude de fonctions auxiliaires
1°) On définit la fonction g sur l'intervalle ]1 ; +inf [ par :
g(x) = 2x - (x - 1) ln(x - 1).
a)On admet le résultat suivant : lim x->0 (xlnx)=0.
En déduire la limite de g(x) lorsque x tend vers 1.
b)Calculer g'(x) pour x appartenant à l'intervalle ]1 ; +inf [.
c)Résoudre l'inéquation 1 - ln(x - 1) > 0, d'inconnue x appartenant à l'intervalle ]1 ; +inf [.
d)Etudier le sens de variation de g sur l'intervalle ]1 ; +inf [.
e)Montrer que l'équation g(x) = 0 a une solution unique, notée alpha , dans l'intervalle [e + 1 ; e^3 + 1], et étudier le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]1 ; alpha [ et ]alpha ; +inf [.
2°) Soit phi la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; +inf [ par :
phi(x)=ln(x²-1)/x
a)Déterminer lim x->1(phi(x))et prouver que lim x->+inf(phi(x))=0.
b)Calculer phi'(x) et montrer que phi'(x) est du signe de g(x2) sur l'intervalle ]1 ; +inf [.
c)Montrer que j est croissante sur l'intervalle ]1 ;racine de alpha ] et décroissante sur l'intervalle [racine de alpha; +inf [.
Deuxième partie
Etude de la fonction f
1°) Vérifier que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +inf [, on a
f(x) = phi (e^x).
2°) En déduire :
a)la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 ;
b)la limite de f(x) lorsque x tend vers +inf ;
c)le sens de variation de f sur l'intervalle ]0 ; +inf [ et que f admet un maximum en ln(
).
3°) Montrer que, pour tout x de l'intervalle ]0 ; +inf [,
f(x)
2/-1
Salut Sittingbul
Je vais essayé de t'aider
1) a)on a g(x) = 2x - (x-1) ln (x-1)
il faut trouver la limite de g en 1 sachant que
lim x(ln x) = 0 lorsque x tend vers 0
regardes tu as (x-1) ln (x-1) ds la fonction g or lorsque x tend vers 1, x-1 tend vers 0
donc il te suffit de faire un changement de variable
pose X = x-1 avec X [b]qui tend vers 0 quand x tend vers 1[/b]ce qui donne g(X) = 2(X+1) - X ln X
tu étudies donc lin g(X) lorque X tend vers 0
or tu sais que x ln x tend vers 0 quand x tend vers 0
donc lim X ln X = O lorsque X tend vers 0
et lim 2(X+1) = 2 lorsque X tend vers O
d'où lim g(X) = 2 lorsque X tend vers O
soit lim g(x) = 2 lorsque x tend vers 1
1) b) calcul de g'(x)
g(x) = 2x - (x-1) ln (x-1)
donc g'(x) = 2 - ( ln(x-1) + (x-1)*(1/(x-1)) )
donc g'(x) = 2 - ( ln(x-1) + 1 )
donc g'(x) = - ln(x-1) + 1
1) c) résoudre 1 - ln(x-1) > 0
1 - ln(x-1) > 0
- ln(x-1) > -1
ln(x-1) < 1
e^(ln(x-1)) < e^1
x-1 < e
x < e+1
la solution de l'inéquation est l'intervalle ]1;e+1[
1) d) sens de variation de g
on a montré que 1 - ln(x-1) > 0 pour x appartenant à
]1,e+1[
or g'(x) = 1 - ln(x-1)
donc pour x appartenant à ]1,e+1[ g'(x) est strictement positive donc g(x) est strictement croissante
pour x appartenant à ]e+1,+inf[ g'(x) est donc négative donc g(x) est décroissante
pour la question précédente c'est pas ]e+1,+inf[ mais [e+1,+inf[
1) e) sur [e+1,e^3+1] g(x) est continue est dérivable et continue et strictement décroissante or g(e+1) = e+2
et g(e^3+1) = -e^3+1
donc il existe l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle
c)- 1-ln(x-1)>0
ln(x-1)<1
x<e+1
donc la solution est ]1;e+1[.
d)- on a g'(x)=1-ln(x-1)
d'après (c) :g'(x)>0 pour x dans]1;e+1[
g'(x)<0 pour x dans ]e+1;+inf[
donc g est croissante sur]1;e+1[ et décroissante sur ]e+1;+inf[
pour le (e) il faut utiliser le théorème des valeurs intermidiaires c-à-d il faut montrer que g(e+1)*g(e^3+1)<0 et que g(x) et monotone sur l'intérvalle
bon courage
bonjour,
je vous remercie pour ce petit coup de main je vais essayer de m'en sortir 
Bonsoir,
A)
a)prouver que lim x->+inf(phi(x))=0.
un tit coup de pouce ?
B)
c)le sens de variation de f sur l'intervalle ]0 ; +inf [ et que f admet un maximum en ln(Va).
>>> pour le sens de variation j'utilise g(x) ? je ne sais pas trop comment bien le montrer,
>> un indice pour ln(VA) ?
Merci bien
même la limite de 2)a) je ne n'arrive pas à trouver -
, pardonBonsoir!
A)2)c)
Montrer que j est croissante sur l'intervalle ]1 ;racine de alpha ] et décroissante sur l'intervalle [racine de alpha; +inf [.
je n'arrive pas vraiment à le démontrer, car le fait de passer de x à x² me gène 
B.
c)le sens de variation de f sur l'intervalle ]0 ; +inf [ et que f admet un maximum en ln(Va).
j'ai du mal à étudier avec "y(e^x)"..
Help me please
Merci.
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