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Bezout
Bonjour à tous,
Je ne sais pas trop comment utiliser ce fameux théorème de Bézout...
Démontrer en utilisant le théorème de Bezout, que le pgcd de deux entiers naturels non nuls est égal à 1.
Je me disais que si je prouve simplement que ces deux entiers sont premiers entre eux, leur pgcd est égal à 1, mais je n'utilise pas le dit théorème 
Je me dis que peut-être si on démomtre qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=1, on rejoint le cadre du théorème et on a prouvé que a et b sont premiers entre eux. Est ce que c'est ça l'utilité du théorème?
Bonjour 
Le théorème de Bezout nous dit que deux entiers u et v sont premiers s'il existe deux entiers a et b tels que au+bv=1
Exemple d'application :
On veut démontrer que quelque soit n :
2n+1 et 5n+2 sont premiers.
On remarque que 5(2n+1)-2(5n+2)=1
Donc d'aprés Bezout 2n+1 et 5n+2 sont premiers
Jord
Dans mon exemple, c'est assez facile, -n +n+1=1...
Mais quand c'est plus difficile, comme n et 2n+1 comment on fait?
Parfois ça saute aux yeux, parfois non. Mais si jamais tu n'y arrives pas au bout d'un certain temps, change de méthode, le théorème de Bezout n'est pas l'unique porte de sortie d'un problème d'arithmétique.
Jord
J'ai une petite idée quand même de début de méthode... En s'arrangeant pour que les "n" aient le même coefficient.
Oui tu peux faire comme ça. Mais il existe pas mal de combinaison (une infinité ..) pour les annuler donc bon ...
Jord
>letonio
pour trouver les "bons" entiers de l'identite de Bezout, on utilise... l'algorithme d'Euclide (le meme qui permet de trouver le pgcd de deux entiers, en fait).
Bon, dans un cas hyper-general ca va pas trop marcher, mais avec des expressions en fonction de n pourquoi pas...
Quant a l'algorithme d'Euclide, c'est une histoire de division... euclidienne (voyez-vous ca...). Genre avec a et b, on commence par calculer le reste de la division de a par b (b plus petit que a, hein, sinon...). On l'appelle c (le reste). Et on recommence avec b et c au lieu de a et b. A un moment le reste est nul, et on a le pgcd qui vaut le "b courant".
Apres on retrouve les coeff, mais je sais plus comment. Ptet que dans ton cours il y a qqchose la-dessus.
A+
biondo
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