le 1) est évident, puisque f est bijective: puisque à tout (k0, k1) correspond un et un seul f((k0, k1) à tout (k0, k1, ..., kn) corespond un et un seul (f(k0, k1), ..., kn)
2) pour tout entier, la décomposition en facteurs premiers est unique, donc en particulier, il peut être décomposé de manière unique en une puissance de 2 et un facteur impair: on aura donc g(k'0, k'1)=g(k0, k1) si et seulement si k'0=k0 et k'1=k1. L'application g est donc injective. Elle est également surjective, puisque l'on peut décomposer tout entier n en une puissance de 2 et un facteur impair. g est donc bijective, et peut être identifiée à l'application f cherchée.
3) par récurrence: d'après 2) il existe une bijection de  N² sur N; et si l'on suppose qu'il existe une bijection de N^n dans N, d'après 1) il existe une bijection de N^(n+1) dans N^n, donc en composant les deux, il existe une bijection de N^(n+1) dans N
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