Bonjour.

Je te donne ma démarche sans recopier tous les calculs. Je pose = f (c'est plus commode).
En partant de f(1) = 1 et de , je trouve :
pour tout n entier positif, .
En utilisant f(0) = 0, j'arrive à : pour tout entier n, .
En utilisant f(ab) = f(a)f(b), j'obtiens : p et q entiers.
Enfin, en utilisant la densité de Q dans R et la continuité de f, j'en déduis que :



A plus RR.

Bonjour Raymond

Je vois ce que tu veux dire, mais il y a encore quelques petits points qui me posent problème :

1) Pour les 2 premières étapes (jusqu'à f(n) = n^(1/3) pour tout entier n) : est-ce que tu calcules les premiers éléments et, au vu des résultats, tu supposes f(n)=n^(1/3) et tu valides cette hypothèse par récurrence ?

2) Pour la généralisation à R, comment argumentes-tu exactement ?

Par ailleurs, avant que tu n'envoies ta première réponse je me demandais pourquoi l'énoncé précisait que f est une bijection ? Je me suis dit qu'il fallait peut-être s'en servir, mais je ne vois pas comment. Qu'en penses-tu ?

Bonjour.

Je reprends la question.
En posant x*y = , (R,*) est un groupe abélien de neutre 0.
Nous cherchons donc f : R -> R continue et bijective telle que la loi externe (a,x) -> aTx = f(a)x confère au groupe abélien additif (R,*) une structure de R-espace vectoriel.
Nous devons donc vérifier les axiomes.

1°) aT(bTx) = (ab)Tx
aT(bTx) = aT(f(b)x) = f(a)f(b)x
(ab)Tx = f(ab)x
Donc :

2°) aT(x*y) = (aTx)*(aTy)
aT(x*y) = f(a)
(aTx)*(aTy) = = f(a)
Toujours vérifié

3°) (a+b)Tx = (aTx)*(bTx)
(a+b)Tx = f(a+b)x
(aTx)*(bTx) = = x
Donc :
(J'avais fait une erreur de frappe pour (II) dans mon premier message)

4°) 1Tx = x
1Tx = f(1)x = x
Donc :

¤ Pour a = 0 et b = 0, (I) => f(0) = [f(0)]² => f(0) = 0 ou f(0) = 1.
Comme f est supposée bijective, et que f(1) = 1, on a donc :


¤ Donc, déjà f(0) = 0 et f(1) = 1
(II) => f(2) = f(1+1) = =
Supposons f(n) =
Alors, f(n+1) = =
Récurrence concluante.


¤ Travaillons sur les entiers négatifs.
(II) => f(n+(-n)) = f(0) = 0 = =>
=> f(-n) = -f(n) => f(-n) = - = .
Conclusion :


¤ Passons aux rationnels
(I) => f( = f(p) = f()f(q).
Or, f étant bijective, q non nul => f(q) non nul, donc :
f() =
Conclusion :

¤ Passons aux réels
Soit a. Sachant que est dense dans , il existe une suite de rationnels (r_n)_n qui converge vers a.
f étant supposée continue, on aura :
Donc : =

Conclusion :

Tu comprends maintenant pourquoi je n'avais tapé que l'essentiel !
C'est mieux ainsi, cela m'a permis de trouver une faute de frappe dans mon premier message.

A plus RR.

Alors là bravo

et, vu l'heure à laquelle tu as envoyé le message : re-bravo

Je me doutais bien que tu utilisais la récurrence pour les entiers positifs, mais il y avait encore quelques zones d'ombre pour les entiers relatifs et surtout pour les réels. Maintenant tout est parfaitement clair.

Merci beaucoup Raymond et bonne journée.

Heureux d'avoir pu t'aider.

A plus RR.