Les racines n-ième de l'unité forment un groupe cyclique, donc il existe a tel que toute racine puisse s'exprimer sous la forme a^k avec k entier
Si béta=a^j pour tout alpha=a^i  alpha/béta=a^(i-j) est évidemment bijective
Si z n'est pas égal à alpha, z^2+alpha*z+alpha^2=(z^3-alpha^3)/(z-alpha) et pour z=alpha l'expression ci dessus est égale à 3. Donc...

Je n'ai rien compris à ces plans ???

* Piepalm,

1) "kkkk" est en terminale, il faut éviter de lui parler de groupe cyclique je crois...

2) Je vois bien que f(alpha)=3 mais je ne comprends pas pourquoi f(beta)=3 ?


* Kkkk,

Ta question sur les plans est effectivement incompréhensible, poste la question toute entière peut-être...

Oups pardon, f(alpha)=3... je suis à côté de la plaque. Je ne comprends pas pourquoi f(beta)=3, voilà c'est tout.

Re
Euh en fait je suis en mpsi mais la notion de groupes cycliques n'a pas encore été bien défini...

En ce qui concerne les plans je m'excuse de la non clarté et tente de vous restituer la question de manière plus compréhensible:

Dans un plan muni d'un repère orthonormé direct, on note P l'ensemble des points ayant pour affixe les éléments de U_n
P1 (respectivement P2) ensembles obtenues en transformant P par la rotation de centre O et d'angle 2/3 (respectivement -2/3)
Pour tout point M de C (cercle de centre O de rayon 1) on pose F(M)= (P₁P₂) M

montrer que P1 et P2 sont disjoints
montrer que: MC, F(M)3
déterminer les points MC pour lesquels F(M)=3

on peut utiliser le module de f(z) si z désigne l'affixe de M défini dans le message précédent
après avoir simplifier l'expression (zⁿ-1)f(z)

D'autre part:
Il était tout d'abord demander de montrer que f(1)=3...
ce qui m'ennuie c'est de ne pas voir pourquoi on peut "remplacer" alpha cube par alpha (en raison de la bijection)
Pour f(beta)=3 il n'y a pas d'erreur
On nous a fait déterminer les complexes a et b tels que |a|= |b|=1 et |1+a+b|=3 en utilisant l'inégalité triangulaire


Merci des réactions

Déjà que je n'ai pas compris la première partie... désolé je n'ai pas de réaction à te faire part...

On peut faire le même raisonnement sans utiliser le terme groupe cyclique : soit a=e^2ipi/n,  toute racine n-ième de l'unité est une puissance de a, et si béta=a^q, pour tout alpha=a^p  alpha/béta=a^(p-q) est évidemment bijective.
Par ailleurs, il doit en effet y avoir une erreur parce qu'en particulier si n est divisible par 3, f(béta)=0 :
prenons n=3 et j=e^2ipi/3 : f(b)=(b^2+b+1)(b^2+bj+j^2)(b^2+bj^2+j)
et comme 1+j+j^2=0 , f(1)=f(j)=f(j^2)=0