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bijectivité & invérsibilité

Posté par
QWERfghj123 19-01-22 à 21:00

Bonsoir, pourriez-vous m'expliquer l'équivalence entre la bijectivité de l'application linéaire  et l'inversibilité de la matrice? Une petite démo peut-être? Ou une idée plus profonde pour comprendre le mécanisme? Niveau prépa économique
Merci en avance et bonne soirée à vous.

Posté par
Zormuchere : bijectivité & invérsibilité 19-01-22 à 22:30

Bonjour

Soit E un R-ev de dimension finie  n

Si f  est un endomorphisme de E inversible, alors il existe un endomorphisme  g  tel que  \forall x\in E, \quad f(g(x))=g(f(x)) = x

En notation matricielle, en notant  A la matrice de  f, cela donne : il existe  B\in\M_n(\R)  telle que  \forall x\in E, \quad B(Ax)=A(Bx)=x\\\Leftrightarrow \forall x\in E,\quad (BA)x=(AB)x=x\\\Leftrightarrow \forall x\in E,\quad (AB-I_n)x=(BA-I_n)x=0

Posté par
Zormuchere : bijectivité & invérsibilité 19-01-22 à 22:33

rectification

Citation :
il existe  B\in\M_n(\R)

il existe  B\in M_n(\R)


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