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bloquage sur PGCD
Bonsoir tout le monde , voila , je bloque sur un exo de spé qui parait pourtant très simple .
Soit a et b de entiers relatifs premiers entre eux et c un entier relatif non nul.
Démontrer que PGCD(a;bc)=PGCD(a;c)
Je trouve ca logique mais j'arrive pas à trouver une démonstration pour ca !
Svp , me faut un ptit peu d'aide , je sèche vraiment sur cet exo ...
Bon , je suppose qu'il faut juste montrer que D(a;bc)=D(a;c) ...
Bonjour.
Soit d=PGCD(a,c) et d'=PGCD(a,bc)
1)
d|a
d|c donc d|bc
d divise a et bc donc divise leur PGCD d'
d|d'
2)
d'|a
d'|bc .
1er cas : d' ne divise pas c alors d'|b et puisque a et b sont premiers entre eux alors d'=1, et comme d|d' alors d=d'=1
2ème cas : d' divise c et alors d' divise le PGCD de a et c, donc d'|d
Conclusion : d|d' et d'|d donc d=d'
Sans doute y a-t-il plus simple.
Bah j'ai trouvé de mon coté une explication aussi .
Soit g PGCD(a;c) 
au+cv = g avec (u;v) 
2
PGCD(a;b)=1 
au'+bv'=1 avec (u';v') 2
On multiplie membre à membres , ca nous donne :
g=(au+cv)(au'+bv')
=aau'u +aubv'+cvau'+cvbv'
=a(au'u+ubv'+cvu')+(bc)(vv')
(au'u+ubv'+cvu')
et (vv')
donc g=PGCD(a;bc)
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