soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
par f(x)= -x+7+6ln(2x+1)-6ln(2x+2).
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j).

1-justifier que f est définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +00[

2- déterminer la limite de f en -1/2
En déduire que la courbe C admet pour aymptote une droite D dont on précisera l'équation.

3-en remarquant que, pour tout x de l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
6ln(2x+1)-6ln(2x+2)= 6ln [(2x+1)/ (2x+2)]
déterminer la limite de f en +oo.

4- soit D' la droite d'aquation y=-x+7
a/ quelle est la limite de [f(x)-(-x+7)] lorsque x tend vers +oo?
en donner une interprétation graphique.
b/étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D'.

5-a/ Montrer que, pour tout x supérieur à -1/2,
f'(x)=(-2x²-3x+5)/(2x+1)(x+1)
où f' désigne la fonction dérivée de f.
b/étudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de f.

6-soit T la tangente à la courbe C au point M d'abscisse 0.Déterminer une équation de la droite T.

Mes Réponses:
1- f est définie sur l'intervalle ]-1./2 ; +oo[
car f(x) éxiste si et seulement si 2x+1 supérieur à 0 de même pour 2x+2
donc il faut que x soit supérieur à -1/2 et x supérieur à -1. d'ou Df= ]-1/2 ; +oo[.

2- déterminons la limite de f en -1/2:
je ne suis vraiment pas sure!
lim -x+7= 15/2
quand x tend vers -1/2
et lim 6ln *(2x+1)/(2x+2)+ ln 0^6
donc lim f(x) = 15/2 quand x tend vers -1/2.
  pour l'asymptote je n'ai pas trouvé!

3- la limite en +oo c'est -oo car lim -x+7=-oo 6ln (2x+1)/(2x+2)=+oo quand x tend vers +oo.

4- y=-x+7
a/ lim de [f(x)-(-x+7)] quand x tend ver +oo c'est d'après le résultat trouvé précédemment +00 -(-x+7) donc +oo.

b/la position c'est pa rapport à la différence de [f(x)-(-x+7] = 6ln (2x+1)/(2x+2)
le signe est positif donc  C est au dessus de D' sur ]-/2 ; +oo[

2a/ je en trouve pas f'(x)
b/ étudions le signe de f' avec le tableur de variation:
-2x²-3x+5 est une fonction polynome:
cherchons le discriminant :
b²-4ac= (-3)²-4(-2)(5)=49 soit 2racines distincts= x'=1
x"=-4, -4 ne sera pas sur le tableau de variation car il n'appartient pas a Df.
donc f est décroissante sur ]-1/2 ; 1[ et est croissante sur ]1 ; +oo[.(en regardant le tableau)

6- la tangente: formule y= f'(a) (x-a) +f(a)
au point d'abscisse 0 donc y=f'(o)(x-o)+f(o)
calcul de f'(o): f'(o)= (-2*o -3*o+5)/(2*o+1)(o+1)=5
calcul de f(o): f(o)=-o+7+6ln(2*o+1)-6ln(2*o+2)
f(o)=7+ 6ln1 - 6ln2= -6ln2+7 car ln1=o.
donc y=(5)(x-o) + (-6ln2+7)=5x-6ln2+7 je pense pas que se soit sa.
Merci de votre Aide...