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Bonjour, J ai une question ....

Posté par Davy (invité) 01-02-02 à 17:38

Existe t'il un triangle qui ne soit ni rectangle, ni équilatéral, ni isocèle et qui ait tout de même toutes ses valeurs d'angle ET de côté entières SVP... Mirci d'avance...

Posté par Dran (invité)re : Bonjour, J ai une question .... 02-02-02 à 16:16

Problème intéressant dont la réponse , je pense, nécessite quelques
mathématiques... bien loin des programmes de collège et de lycée
actuels.
Le problème a un sens concernant les longeurs entières des côtés du
triangle. En ce qui concerne les angles, le fait qu'ils soient
"entiers" est assez inhabituel, étant donné que l'unité de
référence est le radian et que les valeurs remarquables d'angles
pour lesquelles le cosinus ou le sinus est rationnel (parce que c'est
à cela que se ramène votre problème) sont des valeurs du type kPi
avec k rationnel bien choisi.
Bref, essayons de détailler au maximum ce qui l'est :
Comme dans tout triangle dont les longueurs sont notées a,b et c on a :
a²=b²+c²-2bc cos A (voir Al Kashi) on a :
cos A=(b²+c²-a²)/(2bc) qui est donc un nombre rationnel d'après
les
hypothèses (non nul puisque vous rejetez les triangles rectangles).
Or cos(kPi/180) pour k=0,...,90 (suffisant pour tester toutes les valeurs
"entières" - en degrés- par symétrie du cosinus) est un rationnel
non nul dans les seuls cas où k=0 (le cosinus vaut 1) ,k=60 (le cosinus
vaut 0.5) k=90 (le cosinus vaut 0).
Les autres valeurs sont soit des radicaux (solution d'équation de
degré 2), soit d'autres "réels" (solution d'équation
de degré supérieur ou égal à 3) mais dans tous ces cas non rationnelles.
C'est ici que les arguments mathématiques sont intéressants
et nécessitent de l'algèbre particulière (voir la géométrie
des angles constructibles à la règle et au compas et donc la théorie
de Galois...)
Or pour k=0, A=0 et le triangle est plat (mais dans ce cas isocèle)
- exclu.
Pour k=60, A=Pi/3 (soit 60 degrés)
Pour k=90, A=Pi/2 (soit 90 degrés) - exclu.
La solution envisageable est donc A=60
En considérant cette fois-ci la relation symétrique
b²=a²+c²-2ac cos B, on obtient B=60 et donc C=60
Le triangle est donc équilatéral - solution exclue.
Finalement, il n'existe aucun triangle répondant à vos 3 conditions !

Posté par Davy (invité)re : Bonjour, J ai une question .... 02-02-02 à 16:22

merci bocoup pour cette aide, je ne pense pas avoir pu resoudre cela
tout seul car je ne suis qu'en 1e... En tt cas cela me ravi
d'avoir l'esprit libre car ccela faisait 3 jours ke je
me posis le kestion sans cesse .. CT l'occasion pour moi d'essayer
pour la 1e fois un forum ce ki me ravi ! Merci encore ... une autre
kestion est ce possible de créer des angles exactes avec un double
decimettre et une feuille quadrillée... C simple pour 90° ou 45°
mais les autres angle ? JE en pense pas que tous soient faisables
mais y en a t(il d'autres entre 0 et 90 ° SVP ? merci d'avance
pour cette nouvelle kestion et encore merci pour la precedente ...
Au revoir...

Posté par Dran (invité)re : Bonjour, J ai une question .... 02-02-02 à 17:52

Le problème est quasiment équivalent au précédent. Il se ramène au
problème consistant à se demander pour quelle valeurs de l'entier
k, tan (kPi/180) est un rationnel.
Pour cela, si tan(x) est un rationnel, cos²x l'est aussi (avec quelques
arguments trigonométriques) et donc d'après ce qui j'ai
dit précédemment, cos²x=0 ou 1/2 ou 1 soit (en prenant x compris
entre 0 et Pi/2) cos x=0 (angle droit), cos x=racine(2)/2 (angle
Pi/4), cos x=1 (angle nul). C'est donc les seules possibilités
que vous évoquez, il n'y en a pas d'autres.
Pour faire le lien maintenant, considérez un repère orthogonal, un triangle
de sommet O (origine de ce repère) et deux points A et B situés dans
le premier quart de plan (de façon à ce que l'angle en O soit
compris entre O et Pi/2).
Notez x1,y1 les coordonnées de A et x2,y2 celles de B.
On peut alors exprimer à l'aide de x1, y1, x2 et y2 le réel tan(AOB)
sous forme d'un rationnel (vous serez amené à utiliser les formules
de la cotangente et de la tangente d'une somme de deux angles).
D'après ce que j'ai dit au début, l'angle AOB est donc soit plat,
soit droit soit égal à Pi/4. Pour chacune de ces possibilités, des
configurations de tracé existent, il est facile de les trouver...
Maintenant, il existe des configurations qui donnent l'impression que les
angles particuliers Pi/3 ou Pi/6 sont constructibles avec votre méthode...
Il n'en est rien, tout est lié au fait qu'un radical (une
racine carrée) est "approchable" par un rationnel bien choisi à
n'importe quelle précision, d'où la confusion !

Posté par Davy (invité)Merci pour tout 02-02-02 à 19:45

Merci pour tout ce temps passé à me répondre, je pense que j'aurais
pu etre capable de répondre à ma première question mais la deuxième
ne m'étais pas encore accessible... En tout cas votre clarté
d'expression m'encourage à continuer dans ce début de carrière
mathématiques et j'espere un jour atteindre votre niveau logique
et intelectuel. Je vous remercie et vous dit @ peluche !

Davy

Posté par yvette (invité)mon point de vue 02-02-02 à 22:57

moi je trouve si un triangle n'est ni rectangle ni équilatéral
ni isocèle c'est un triangle quelconque dans l'espace

Posté par yvette (invité)encore moi 02-02-02 à 22:59

aussi dans n'importe quel triangle la somme de tous les angles
est égale à pi



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