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Borne supérieure

Posté par Profil Ramanujan 25-04-18 à 13:55

Bonjour,

Je bloque depuis plusieurs jours sur cette question. J'y arrive pas du tout.

Soient \forall i \in \{1,...,n-2 \} :  m_i des vecteurs colonnes de M_{n1}(R) à composantes strictement positives.
Soient \theta et \theta' des réels appartenant à [0,1]
Soit x_{\theta} qui correspond en fait au max de la dimension des sous espaces vectoriels où une forme quadratique est définie positive.

On a la propriété suivante :

Il existe \delta >0 tel que  n n! |\theta - \theta'| \prod_{j=1}^{n-2} (||m_j||+\sqrt{n}) < \delta \Rightarrow x_{\theta} =x_{\theta'}

On introduit : \tau = Sup_{\theta \in [0,1]} \{\theta |  x_{\theta}=1\}

On veut montrer que : \tau =1

Par l'absurde on considère que \tau < 1

On pose :  a=\frac{\delta}{n n!  \prod_{j=1}^{n-2} (||m_j||+\sqrt{n})}

A partir d'ici je comprends plus rien :

"Par définition de la borne supérieure il existe \theta appartenant à l'intervalle ] \tau - \frac{a}{4} , \tau}[ tel que x_{\theta}=1"

D'où sort cet intervalle ?

"On pose \theta' = Min (\theta + \frac{a}{2} , \tau + \frac{1-\tau}{2})"

D'où sort ce min ?  Comment le trouve t-on ?

"On est ainsi assuré que \tau < \theta' < 1 et \theta'-  \theta < 1

Comment le montrer ?

"On en déduit que x_{\theta'}=1"

Comment faire ?

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Borne supérieure 25-04-18 à 14:37

salut

encore une fois un énoncé qui ne veut rien dire ...

Citation :

Par définition de la borne supérieure il existe \theta appartenant à l'intervalle ] \tau - \frac{a}{4} , \tau}[ tel que x_{\theta}=1

donc il suffit de savoir ce qu'est la borne sup d'un ensemble ...

Posté par Profil Ramanujanre : Borne supérieure 25-04-18 à 15:51

Carpediem, l'énoncé peut paraitre bizarre car c'est l'avant dernière question d'un sujet et si je remets toutes les  questions intermédiaires ça fait 10 pages.

Bah par définiton de la borne supérieure  \forall  \theta \in \{\theta : x_{\theta}=1 \}  on a : \theta \leq \tau donc :  0 \leq \theta \leq \tau donc j'ai pas l'inégalité stricte en plus

Mais je comprends pas d'où sort le \tau - \frac{a}{4} et  pourquoi \theta > \tau - \frac{a}{4}

Posté par
carpediemre : Borne supérieure 25-04-18 à 19:19

donc on ne sait pas d'où on vient et où on va ...

bof ....

on décide parce que c'est suffisant pour que ça marche ... et qu'on a le droit !!

Posté par Profil Ramanujanre : Borne supérieure 25-04-18 à 20:51

Je bloque sur la question 17 de ce sujet : on utilise la question 7 et la question 16.

http://www.maths-france.fr/MathSpe/Problemes/Mines/2008/MinesPonts_2008_MP_M1_Enonce.pdf

Posté par
carpediemre : Borne supérieure 25-04-18 à 23:00

il existe une icone pour avoir un lien plutôt que de se fatiguer à le copier-coller ...

Posté par Profil Ramanujanre : Borne supérieure 26-04-18 à 14:07

Ah je connaissais pas du coup vous voyez mieux le contexte de la question ?

Je peux vous remettre la correction que je ne comprends pas détaillée si vous voulez.

Posté par Profil Ramanujanre : Borne supérieure 26-04-18 à 19:49

Les vecteurs \theta m_i + (1- \theta)e pour i variant de 1 à n-2 sont à composantes strictement positives donc, d'après la question 14, Q_{\theta}c=0 entraîne c  égal au vecteur nul donc Q_{\theta} est inversible.  De même Q'_{\theta} est également inversible.
D'après l'inégalité de la question précédente 16 on est dans les hypothèses de la question 7 :  k=n n! |\theta - \theta'| \prod_{j=1}^{n-2} (||m_j||+\sqrt{n})

Jusque là j'ai tout compris. Ensuite :

D'après la question 7 :

\exists \delta >0 tel que  n n! |\theta - \theta'| \prod_{j=1}^{n-2} (||m_j||+\sqrt{n}) < \delta \Rightarrow   r(\phi_{Q_{\theta}})= r(\phi_{Q_{\theta'}})

Supposons que \tau = Sup_{ \theta \in [0,1]} \{ \theta :  r(\phi_{Q_{\theta}})=1\} soit strictement inférieur à 1.
Posons :  

a=\frac{\delta}{n n!  \prod_{j=1}^{n-2} (||m_j||+\sqrt{n})}

Jusque là j'ai tout compris. Ensuite :

Par définition de la borne supérieure il existe \theta appartenant à l'intervalle ] \tau - \frac{a}{4} , \tau}[ tel que r(\phi_{Q_{\theta}})=1

J'ai pas compris comment on trouve cet intervalle

On pose \theta' = Min (\theta + \frac{a}{2} , \tau + \frac{1-\tau}{2})

J'ai pas compris pourquoi on prend ce \theta'

On est ainsi assuré que \tau < \theta ' < 1 et \theta' - \theta < a

Pas compris pourquoi

On en déduit alors de la question 7 que r(\phi_{Q_{\theta'}})=1 ce qui contredit la définition de \tau puisque \theta' > \tau
La contradiction implique que \tau =1

D'après la définition de la borne supérieure, il existe \theta \in [0,1] tel que r(\phi_{Q_{\theta}})=1 et 1- \theta < a

Pourquoi a-t-on : 1- \theta < a


Posté par Profil Ramanujanre : Borne supérieure 26-04-18 à 22:38

J'ai juste 2 inégalités : | \theta - \theta'| < a et \theta \leq \tau

Soit : -a < \theta - \theta' < a et \theta \leq \tau


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