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Bornes sup, ensembles

Posté par mat671 (invité) 17-11-05 à 20:30

Bonjour à tous,
Je prepare ma prochaine interro et voici un exo qui me pose probleme :

Soit f: [0,1][0,1]. On suppose f(0)0. On pose  : A= {x[0,1];f(x)> x }

1/ Montrer que sup A existe. On le notera S par la suite.
-> La je pense à la justification suivante :
A est une partie non vide et majorée. Par theoremes generaux, si A est une partie non vide de R majorée, alors A admet une borne supérieure dans R.

Apres je bloque...
2/ On suppose f(S)>S. Montrer que [S,f(S)] A
3/ On  suppose f(S)<S. Montrer que [f(S),S] A =
4/ Montrer que les deux cas précédents sont impossibles
5/ En déduire que f admet un point fixe c'est à dire l'existence de x dans [0,1] tel que f(x)=x.

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
franzre : Bornes sup, ensembles 17-11-05 à 23:18

Il manque quelque chose dans ton énoncé pour . Soit f croissante telle que f: [0,1]\Longrightarrow [0,1]

1/
Je suis d'accord (il faut préciser que 0\in A

2/
Si f(S)>S, par la croissance de f, tu peux écrire,
\forall x\in[S,f(S)[\;\;\;x\ge S \;\Longrightarrow\;f(x)\ge f(S) \gt x \;\;\Longrightarrow\;x\in A donc   \red [S\,,\,f(S)[ \;\subset\, A

(pour avoir le crochet fermant du côté f(S), il faut que f soit strictement croissante)


3/

Si f(S)<S, par la croissance de f, tu peux écrire,
\forall x\in]f(S),S]\;\;\;S\ge x \;\Longrightarrow\;f(S)\ge f(x)   Donc
x \gt f(S)\ge f(x)\;\;\Longrightarrow\;x\notin A donc    \red [S\,,\,f(S)[ \;\cap\,A\,=\,\empty

(pour avoir le crochet fermant du côté f(S), il faut que f soit strictement croissante)


Posté par
franzre : Bornes sup, ensembles 17-11-05 à 23:20

excuse-moi dans le 3/, je voulais écrire \red ]f(S)\,,\,S] \;\cap\,A\,=\,\empty

Posté par
franzre : Bornes sup, ensembles 17-11-05 à 23:28

4/ a)

si f(S)>S , tous les éléments de [S,f(S][ sont dans A. Il existe donc des éléments de A supérieurs à S ce qui est en contradiction avec le fait que S est la borne supérieure.

4/ b)

si f(S)<S , appelons \varepsilon = \frac 1 3 (S-f(S))

S-\varepsilon = \frac 2 3 S + \frac 1 3 f(S) \gt f(S) et par conséquent, d'après 3/ \forall x \in [S-\varepsilon, S],\;x\notin A donc S-\varepsilon est aussi un majorant de A ce qui est en contradiction avec la définition de la borne supérieure (plus petit des majorants).

Posté par
franzre : Bornes sup, ensembles 17-11-05 à 23:29

5/ On déduit du 4 que f(S)=S     CQFD


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