Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Boucle pour
*n est du type nombre
*f est la fonction définie sur R par f(x)=-x+2
*g1,g2 ,...gn sont des fonctions définies sur R par : g1(x)=f(x) g2(x)=f(g1(x))
On me demandait de programmer un algorithme permettant d'exprimer gn(x), ce que j'ai réussi a faire, afin de remplir un tableau pour lequel la première ligne et la première colonne :
n 1 2 3 4 25 150 2015
x
-7 9 -7 9 -7 9 -7 9
5 -3 5 -3 5 -3 5 -3
4) Conjecturer l'expression de gn(x) en fonction de x et de n (je ne trouve pas)
5)pour x donné, démontrer par récurrence cette conjecture
Bonjour,
Je vous présente mes excuses. Je pensais avoir commencé par "bonjour" comme je le fais pourtant d'habitude ajouté d'un " merci d'avance" par la même occasion...
4)
En regardant le tableau, il me semble que je ferais la conjectuure suivante :
gn(x) = -x + 2 si n est impair
gn(x) = x si n est pair
...
J'ai pensé à cette conjecture mais je ne voyais pas comment la mettre en pratique dans un démonstration par récurrence...
Pour la réponse à votre second post : on a f(f(x))= -(-x+2)+2
cad f(f(x))=x c'est bien cela ?
pour moi une recurrence est inutile puisqu'on obtient successivement:
-x+2,x,-x+2,x, etc ...
tu peux cependant faire plaisir à ton prof ...
Je pense qu'étant donné la question 5 il vaut mieux que je réalise cette récurrence...Seulement je ne vois pas comment dans une récurrence on peut faire intervenir la notion de pair et d'impair...
c'est beaucoup de complications pour rien. Allons-y:
HR g2n-1(x)=-x+2 et g2n(x)=x (n entier sup ou egal à 1)
J'ai fait l'initialisation suivante:
x=-7 n=1
g2*1-1(-7)= g1(-7)= -(-7)+2 = 9
g2*1(-7)= g2(-7)=-(-7+2)+2
= -7
L'initialisation est démontrée
Oui mais dans une initialisation, ne faut-il pas remplacer les valeurs? Et après généraliser avec l'hérédité en gardant x et n devient k? Mais a part ça mon initialisation est-elle vraie? Si non, que manque t il ?
Bonjour,
la récurrence c'est sur n, pas sur x
initialisation = donner une valeur à n pas à x ou quelque autre variable que ce soit.
x reste x, écrit x, qu'est-ce que ça peut faire.
si tu donnes en plus une valeur à x tu ne démonteras rien du tout sur gn(x)
tu démontreras uniquement dans le cas particulier de gn(7)
que tu appelles n "k" ne change rigoureusement rien du tout.
tu peux tout aussi bien laisser n écrit n dans la partie "hérédité"
et la rédaction est tellement évidente qu'elle a quasiment déja été écrite
tu cherches sans doute midi à 14 heures alors que
pour moi une recurrence est inutile
et
c'est beaucoup de complications pour rien. Allons-y: etc
Merci pour ces précisions.
Je parlais de remplacer n par k car mon professeur nous l'impose dans l'hérédité
si ça peut faire plaisir aux petites manies de ton prof ...
mais ça n'apporte rien du tout et ne change rien du tout aux calculs
que l'on remplace n par k, par w ou par a, le calcul est exactement le même
avec le même risque ou pas de comprendre la récurrence de travers en prenant comme certitude de départ ce qu'on veut démontrer
que "quel que soit n"
alors que l'hypothèse correcte de départ est "pour un certain n"
que l'on appelle "k" ce "un certain n" si ça peut faire plaisir à ton prof ...
tout à déja été "rédigé" dans les messages précédents et il n'y a plus qu'à mettre tout ça ensemble.
Donc dans l'initialisation, je fais :
n=1
g2*1-1=-x+2 et g2(x)=x
Hérédité :
Si g2n-1(x)=-x+2 et g2n(x)= x a-t-on g2n+1(x)=-x+2 et g2n+2(x)=x
...
C'est bien cette méthode que je dois adopter ?
oui.
et le "a-t-on" a été quasiment rédigé et prouvé par la démonstration de f(f(x))=x
c'est du remplacement par traitement de texte dans cette démonstration à partir de la définition de gn(x) = f(gn-1(x))
ou ici de g2n(x) :
g2n+2(x) = f(f(gn(x)) par définition
etc.
Merci beaucoup pour votre aide, que ce soit mathafou ou alb12
Dernière petite question: dans l'hérédité on aura bien 2 calculs différents:
*passer de g2n-1(x)=-x+2 à g2n+1(x)=-x+2
*et de g2n(x)= x à g2n+2(x)=x
oui, il faut faire les deux puisque l'hypothèse est double
ceci dit le calcul est exactement le même pour chacun, seule l'écriture en est diffaérente.
il s'agit de démontrer une fois pour toutes que gm+2(x) = gm(x)
qu'on le fasse ici de façon "lourdingue" dans une démonstration formelle par récurrence
ou directement (une démonstration par récurrence est bien inutile ici, a-t-il déja été dit, car c'est "formellement",
qu'on démontre directement que quel que soit m, gm+2(x) = gm(x) pratiquement "par définition"
et donc la conclusion voulue directement puisque "par récurrence" (c'est un bien grand mot !! "par itération" serait ici plus juste) on a forcément alors :
gm+2(x) = gm(x) = gm-2(x) = gm-4(x) = ... jusqu'à tomber sur g1(x) ou bien g2(x) selon la parité de m
(voire g0(x), défini en résolvant g1(x) = f(g0(x)) )
Je vous remercie encore une fois, bonne fin d'après midi à vous.
C'est vrai que la démonstration n'a plus trop d'intérêt suite à la question précédente (4) qui présente déjà la conjecture....
la démonstration n'a plus trop d'intérêt suite à la question précédente (4) qui présente déjà la conjecture....
ne pas confondre conjecture et preuve
une conjecture est : "il me semble bien que .." et cela peut être parfaitement faux (il y a des cas célèbres où la conjecture est valable jusqu'à un certain rang et fausse ensuite)
seule une démonstration (avec ou sans récurrence, mais une démonstration) permet de le savoir.
Annuler
connectez vous