CKAB=CBAB = B
M=B    fixe

Bonsoir,

fichelle : raisonnement faux et conclusion fausse (ta figure est fausse sans doute) M est différent de B.

si l'énoncé a pris la peine de définir un point I c'est qu'il doit bien avoir une utilité !

et effectivement ...
que peut on dire de IK par rapport à AB ?
que peut on dire de CA/CI ? (à partir des seules définitions de A, C, C' et I et de rien d'autre)
puis Thales dans CIK et conclusion.

Seulement la figure que j'ai c'est celle là :
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pedalyc/qo/config_plan/bouge_ou_pas/bouge_ou_pas.pdf

c'est la même
le point C est n'importe où.

tu as donc une infinité de "figures" possibles
C au dessus, au dessous à gauche, à droite, loin, près
la question est bien :
pour toutes ces figures possibles M est-il au même endroit sur [AB]

le mieux est encore de faire une figure dynamique sur un logiciel de géométrie, par exemple Geogebra.

tu te fixes deux points A et B (que tu marques "fixes" pour être bien sûr de ne pas les déplacer par inadvertance)
tu places un point C n'importe où
tu construis C' par
C' = Homothétie[C,-6,A] (AC' = 6AC, et C' de l'autre coté de C par rapport à A, d'où le "-")
Puis les milieux I et K
les segments de la figure, et le point d'intersection M

ensuite tu déplaces C à ta guise où tu veux et tu observes.

la figure proposée sur ton pdf est avec en plus une illustration de
AC' = 6AC en marquant explicitement sur AC' des segments égaux à AC
ce qui ne change rien au fait que AC' soit égal à 6AC, de "l'exhiber" ainsi ou pas.
mais du coup avec ce marquage explicite la question :

Merci de ton aide je vais faire une petite conclusion.

     Cordialement.