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c'est quoi une bijection ?
bonjour à tous
je me posais une question car on vient de commencer la fonction f(x) = ln(x) et dans le cours il est dit que la fonction ln x est la bijection réciproque de la fonction exponentielle.
d'où l'objet de ma question : qu'est-ce qu'une bijection ?
est-ce une fonction symétrique à une autre par rapport à la fonction identité (f(x)=x), est-ce l'image d'un ensemble de définition par une fonction, est-ce autre chose...
j'ai lu pas mal de définitions sur la bijection mais je n'en comprends aucune. Aussi je serais ravi si quelqu'un voulait bien m'expliquer simplement.
merci d'avance
Une bijection de I dans J est une fonction telle que tout élément de J possède un antécédent unique dans I
merci de m'avoir répondu aussi vite
donc si j'ai bien compris ce que tu as écrit une bijection est l'image d'un intervalle I par une fonction et cette image n'est autre que l'intervalle J. De plus, une bijection n'est ni un intervalle ni une fonction c'est l'image d'un intervalle par une fonction. C'est ca ?
La definition d'une bijection depasse, et de loin, celles des intervalles.
Et visiblement tu n'as pas bien compris ma phrase
Une bijection EST une fonction.
Elle a certaines propriétés :
- tout element de l'ensemble d'arrivée possède un antécédent
- cet antécédent est unique
Exemple :
f(x)=2x est une bijection de R dans R. Si je prends un y dans R, le seul x qui vérifie f(x)=y est y/2
f(x)=x² n'est pas une bijection de R dans R car -1 n'a pas d'antécédent et 4 en a deux (2 et -2)
ok alors voyons si cette fois j'ai compris
prenons un intervalle I.
une bijection sur I est une fonction strictement monotone, l'image de I par f est un intervalle J, toutes les valeurs de J ont un antécédent unique (car f est strictement monotone) dans I
et quand on parle d'une fonction en tant que bijection on dit qu'elle est une bijection d'un intervalle (I par exemple) dans un autre intervalle (J par exemple)
et il est possible que les intervalles I et J soient égaux. J'ai rien oublié ?
j'espère que j'ai bon cette fois. 
Disons que, dans ce que tu dis, ce qui est vrai c'est qu'une fonction strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection, ce qui est vrai pour les fonctions dont tu as l'habitude et qui sont ce qu'on appelle continues.
En revanche, on peut tres bien avoir une fonction bijective sans qu'elle soi strictement monotone, mais les exemples sont un peu plus compliqués
oui je vois ce que tu veux dire. est ce que les fonctions "compliquées" réalisant une bijection sont au programme de TS ? en tout cas merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre.
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