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Niveau Licence Maths 1e ann
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C-module, à isomorphisme près ?

Posté par
John-Z 11-05-11 à 18:19

Bonjour,

Je n'arrive pas à décrire, à isomorphisme près, tous les \mathbb{C}[X]-modules de longueur 4 et annulés par (X^2-1)X^3

J'ai besoin de quelqu'un pour qu'il me guide dans cet exercice...

Merci.

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 12-05-11 à 14:23

Bonjour,

Si on décode, tu cherches tous les espaces vectoriels sur \mathbb{C} de dimension 4, munis d'un endomorphisme ayant (X^2-1)X^3 comme polynôme annulateur, à isomorphisme commutant avec les endomorphismes près.

Est-ce que la réduction de Jordan, ou quelque chose du genre, ne pourrait pas t'être de quelque utilité ?

Posté par
Camélia Correcteurre : C-module, à isomorphisme près ? 12-05-11 à 14:27

Bonjour

Une idée pour débuter, mais je n'ai pas fait tout le travail.

Soit A l'anneau quotient C[X]/((X^2-1)X^3). Un module C[X]-module annulé par (X^2-1)X^3 est naturellement muni d'une structure de A-module. Or à cause de Bézout

A\equiv C[X]/(X+1)\times C[X]/(X-1)\times C[X]/(X^3)

et les deux premiers sont des corps isomorphes à C.

Il me semble qu'il y a de quoi attaquer...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 12-05-11 à 16:09

Un conseil : sans vouloir être désagréable à Camelia, la piste que j'esquisse me semble plus facile à exploiter. Allez, un moyen de contrôle : il y a 25 types d'isomorphisme.

Posté par
Camélia Correcteurre : C-module, à isomorphisme près ? 12-05-11 à 16:27

Mais non, mais non... (moi je n'ai pas compté...)

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 12-05-11 à 23:32

De toutes façons, John-ZZZZZZZZZZZZ ne s'est pas encore réveillé

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 14-05-11 à 14:59

Bonjour, et désolé pour le temps de répondre (j'ai bcp de boulot mais je suis toujours là).

Tout ce que j'ai écrit, c'est :
\\ \mathbb{C}[X]/(X^2-1)X^3 = \mathbb{C}[X]/(X^2-1) \times \mathbb{C}[X]/X^3 = \\ \mathbb{C}[X]/(X-1) \times \mathbb{C}[X]/(X+1) \times \mathbb{C}[X]/X^3 = \\ \mathbb{C}[X]/(X-1) \times \mathbb{C}[X]/(X+1)\times \mathbb{C}[X]/X^2 \times \mathbb{C}[X]/X = \\ \mathbb{C}[X]/(X-1) \times \mathbb{C}[X]/(X+1)\times \mathbb{C}[X]/X \times \mathbb{C}[X]/X \times \mathbb{C}[X]/X= \\ \mathbb{C}[X]/(X^2-1)\times \mathbb{C}[X]/X \times \mathbb{C}[X]/X \times \mathbb{C}[X]/X= \\ \mathbb{C}[X]/(X^2-1)\times \mathbb{C}[X]/X^2 \times \mathbb{C}[X]/X

Si c'est bon, c'est super facile !

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 14-05-11 à 15:01

Non, non, la longueur est de 4.

J'omets la 4ème ligne.

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 14-05-11 à 22:55

C'est faux. A partir de la troisième ligne. Et je ne vois pas où une telle voie te mènerait.
Tu n'as pas l'air de lire ce qu'on t'écrit.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 17-05-11 à 10:55

Je ne suis pas sûr d'avoir compris vos messages...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 17-05-11 à 11:26

Tu ne connais pas la correspondance entre endomorphismes d'un \mathbb{C}-espace vectoriel de dimension finie et \mathbb{C}[X]-modules ?

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 17-05-11 à 11:30

Tu connais au moins le théorème de structure des \mathbb{C}[X]-modules de type fini ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 27-05-11 à 16:26

Heu non... Ou pas appris...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 27-05-11 à 20:17

Tiens, un revenant !

Attends, alors, dans quel cadre te pose-t-on cet exercice ? (réponse d'ici trois semaines ?)

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 27-05-11 à 21:19

Je l'ai trouvé dans un sujet d'examen (il est sans corrigé)...

Désolé pour le temps, je sais... :/

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 27-05-11 à 21:36

sujet d'examen de quel cours? Un cours que tu suis?
Il faut te tirer les vers du nez, dis-donc...

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 27-05-11 à 22:05

Oui oui, un cours d'algèbre...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 27-05-11 à 23:29

Ah bon, j'aurais pourtant parié que c'était un cours sur la transformée de Fourier

Désespérant... Tu n'arrives pas à comprendre que ce n'est pas une information suffisante, et que je savais bien sans que tu me le dises qu'il s'agissait d'algébre ???  Je renonce.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 28-05-11 à 09:05

Je n'ai pas vu la transformation de Fourier dans le cours. Je pense qu'il y a une autre "méthode". Mais bon, je n'ai rien d'autres à ajouter, puisque tu renonces. Bon WE.

Posté par
Camélia Correcteurre : C-module, à isomorphisme près ? 29-05-11 à 15:22

Bon, ne sachant pas ce que tu sais, ce n'est pas facile...

Alors tu cherches un C[X] module qui soit défini sur C^4. Bien sur il suffit de définir la multiplication par X, qui induit un endomorphisme u sur C^4. Cet endomorphisme doit être annulé par le polynôme (X^2-1)X^3, donc son polynôme minimal (qui est de degré au plus 4) est un diviseur de ce polynôme. Il te reste à regarder tous les cas, et à écrire la matrice correspondante en utilisant Jordan.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 09:40

Bonjour et merci de vouloir m'aider.

J'ai cherché dans mon cours et je n'ai pas trouvé la formule de Jordan...

La \mathbb{C}-module T de type fini et de torsion a une unique décomposition avec T \approx \oplus_1^s \mathbb{C}[X]/P_i\mathbb{C} avec P_i | P-{i+1} et son annulateur est P_s\mathbb{C}[X]

Je ne vois pas en quoi ça peut m'aider à décrire les modules de longueur 4...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 10:27

Il y a deux semaines :

Citation :

Tu connais au moins le théorème de structure des \mathbb{C}[X]-modules de type fini ?

Réponse :
Citation :
Heu non... Ou pas appris...


Tu as perdu ces deux semaines juste parce que tu ne connaissais pas le cours.

Et avec ce résultat du cours que tu viens de rappeler, tu ne vois pas en quoi ça peut t'aider à décrire les \mathbb{C}[X]-modules de longueur 4 et annulés par (X^2-1)X^3 (c.-à-d. dont l'annulateur divise (X^2-1)X^3) ?
Il te suffit de savoir en plus que la longueur d'un tel \mathbb{C}[X]-module est égale à sa dimension en tant qu'espace vectoriel sur \mathbb{C].

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 10:47

GaBuZoMeu, tu n'es pas obligé de venir me causer ici. Passe une bonne journée.

Camélia, d'après ce que je comprends, il faut chercher des polynômes annulés par (X^2-1)X^3.

D'après le cours, le somme des degrés des polynômes cherchés et annulés est égale à 4.

On a alors pour s=4,

P_1=X, P_2=X, P_3=X et P_4= X et on a bien \sum deg P_i = 4 et les polynômes sont bien aussi annulés par (X^2-1)X^3 ? On a donc 12 possibilités...

Pour s=3,

P_1 = X, P_2 = X. Il reste à chercher les P_3 tels que \sum deg P_i = 4. Est-ce que je suis dans la bonne voie ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 10:50

Non, erratum pour s=4 :

Pour tout i, P_i=X, P_i=X-1 ou P_i=X+1

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 10:50

On ne peut pas éditer ses messages ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 11:40

J'ai trouvé 26 classes d'isomorphismes de \mathbb{C}-modules de longueur 4...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 12:04

Il y a trois semaines :

Citation :
Allez, un moyen de contrôle : il y a 25 types d'isomorphisme.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 12:06

Ben mets ici ce que tu as fait.

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 12:10

Ce n'est pas à moi de faire l'exercice à ta place. C'est à toi de dire ce que tu as fait, si tu veux savoir si c'est correct. Tu peux certainement expliquer pourquoi tu trouves 26, non ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 12:12

Ok mais tu es sûr de ne pas te tromper ?

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 12:17

Oui.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 14:48

Ok.

Pour s=4, 12 solutions.

Pour s=3, on a :

P_1 = X, P_2=X P_3= (X-1)(X+1) \\ P_1 = X, P_2=X P_3= (X-1)X \\ P_1 = X, P_2=X P_3= (X+1)X \\ P_1 = X, P_2=X P_3= X^2

Comme P_1 = P_2, donc on a 8 solutions. Ok ?

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 16:29

Non, pas OK. Ni pour s=4, ni pour s=3

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 16:35

Quelle faute ai-je fait ?

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 17:40

pour s=4, difficile de dire puisque tu ne dis pas comment tu trouves 12
pour s=3, je ne vois pas non plus d'où tu sors le 8, et par ailleurs
P_1 = X, P_2=X, P_3= (X-1)(X+1)
ne peut pas marcher puisque P_2 ne divise pas P_3.
N'oublie pas la condition que chaque polynôme divise le suivant.

Que veux-tu dire par "un polynôme est annulé par (X^2-1)X^3" ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 18:52

On cherche les polynômes qui divisent (X^2-1)X^3, je voulais dire...

C'est vrai mais je l'ai écrit au brouillon. Je vais réécrire...

Pour s=4, on a donc : \sum deg P_i = 4 soit deg P_1 + deg P_2 + deg P_3 + deg P_4 = 4. Comme deg P_i \ge 0, on a nécessairement deg P_i = 1 pour tout i et P_i divise P_{i+1}. On obtient ainsi :

Pour tout i, P_i = X, P_i = (X+1) ou P_i = (X-1) donc 12 solutions...

Pour s=3, tu as raison, désolé, je l'ai mal fait...

Pour s=2, si deg P_1 = 2, alors P_1 = P_2 puisque P_i divise P_{i+1}

P_1 = P_2 = X^2
P_1 = P_2 = (X-1)X
P_1 = P_2 = (X+1)X
P_1 = P_2 = (X+1)(X-1)

donc 4 solutions.

Ensuite, si deg P_2 = 3, alors P_1 est de degré 1.

P_1 = X et P_2 = (X-1)X^2
P_1 = X et P_2 = (X+1)X^2
P_1 = X et P_2 = X^3
P_1 = X et P_2 = (X+1)(X-1)X
P_1 = (X+1) et P_2 = (X+1)X^2
P_1 = (X+1) et P_2 = (X+1)(X-1)X
P_1 = (X-1) et P_2 = (X-1)X^2
P_1 = (X-1) et P_2 = (X+1)(X-1)X

Donc pour s=2, il y a 12 solutions...

Pour s=1, on a 3 solutions : (X-1)(X+1)X^2, (X-1)X^3, (X+1)X^3

On a décrit 25 classes d'isomorphismes.

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 19:09

D'où sors-tu le 12 pour s=4 ? Une coquille ?

Pour s=3, alors, combien?

s=2, s=3, d'accord.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 19:23

Non 3 solutions.

Pour s=3, il existe 7 solutions...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 21:16

Voila. En apprenant ton cours, et en restant concentré sur ce que tu fais, tu y arrives...

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 22:10

Merci !

Une dernière question : le produit des polynômes cités s'appelle le polynôme minimal et divise le polynôme caractéristique. Est-il possible qu'il est égal au polynôme caractéristique ?

Je suis tombé sur un autre exercice similaire mais avec solution mais je crois qu'il y a une erreur dedans... Je le mets ici ou je lance un autre topic ?

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 02-06-11 à 22:19

Pour moi, le polynôme minimal est le dernier de la liste et le polynôme caractéristique est le produit de tous les polynômes de la liste (celui de degré 4). C'est en fait la terminologie pour les endomorphismes, mais tu disais ne pas avoir vu le rapport entre \mathbb{C}[X]-modules et endomorphismes. (Bon, tu disais aussi ne pas avoir vu le théorème de structure des \mathbb{C}[X]-modules de type fini.)

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 03-06-11 à 13:09

En fait, je ne connaissais pas le nom de ce théorème.

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 03-06-11 à 21:05

J'ai relu le théorème et je ne comprends pas le corrigé d'un exercice suivant :

Citation :
Soit E est un C-espace vectoriel de rang 6. Soit u est un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique a 2 racines distinctes a et b. On suppose que les espaces propres E_a et E_b sont de rangs 3 et 2. Quels sont les facteurs invariants de u?


Les solutions sont :

P_1=(T-a)
P_2=(T-a)(T-b)
P_3=(T-a)(T-b)(T-b)

P_1=(T-a)
P_2=(T-a)(T-b)
P_3=(T-a)(T-a)(T-b)

Mais moi, j'ai 16 solutions !

Par exemple, on peut avoir :

P_1=(T-a)
P_2=(T-a)
P_2=(T-a)
P_4=(T-a)
P_5=(T-a)(T-b)

ou

P_1=(T-b)
P_2=(T-b)
P_3=(T-b)
P_4=(T-b)
P_5=(T-a)(T-b)

Puisque P_i divise P_{i+1}...

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 03-06-11 à 22:37

Dans ton premier "Par exemple", quelle est la dimension de E_a ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 03-06-11 à 22:41

E_a est de rang 3.

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 03-06-11 à 22:51

Tu parles bien de ça ?

P_1=(T-a) \\ P_2=(T-a) \\ P_2=(T-a) \\ P_4=(T-a) \\ P_5=(T-a)(T-b)

Auquel cas, c'est perdu !

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 04-06-11 à 09:49

Heu oui. Il faut trouver les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 pour la valeur propre a et P_i divise P_{i+1}

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 04-06-11 à 11:16

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Je répète la question.
Si les facteurs invariants de u sont

P_1=T-a,\ P_2=T-a,\ P_3=T-a, \ P_4=T-a, \ P_5=(T-a)(T-b)

Quelle est la dimension du sous-espace propre E_a ? Quelle est la dimension du sous-espace propre E_b ?

Posté par
John-Zre : C-module, à isomorphisme près ? 04-06-11 à 12:26

dim E_a = 5 et dim E_b=1 ?

Posté par
GaBuZoMeure : C-module, à isomorphisme près ? 04-06-11 à 13:08

Et alors ?

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