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Je ne vois pas comment utiliser un produit scalaire avant.
As-tu dessiné un triangle IGH isocèle en I , avec J milieu du côté GH ?
As-tu écrit quelque part une liste claire des résultats déjà connus pour ce triangle ?
Les 3 côtés GH, IG et IH.
Tu veux travailler dans le triangle IJH rectangle en J.
Avant d'utiliser Pythagore, écris ce qui est connu :
JH = .... et IH = ....
Tu en déduiras IJ2, puis IJ, Puis GJ.
IJ²=IH²-JH² : Oui.
JH = a/2 ; donc JH2 = (a/2)2 = a2/4.
IH = a
3/2 ; donc IH2 = a2(
3)d2/22 = 3a2/4.
IJ2 = 3a2/4 - a2/4 = ....
Avec de vraies fractions :
IJ = (2a2/4) = (2a2) / 4 = (a2) / 2
Bon, tu as été très courageux de me suivre jusque là 
Tu as eu raison d'insister sur le côté produit scalaire absent.
Je me suis aussi aperçue que je n'utilisais pas non plus ceci qui est dans l'énoncé :
« ECF = FCG=GCH=HCE (mesures des angles) »
J'ai fini par vraiment chercher et trouver quelque chose de beaucoup plus rapide.
Mais il faut connaître cette égalité avec le point C centre du tétraèdre régulier :
La connais-tu ?
alors je pense qu'il faut passer par les vecteurs car non je ne connais pas cette méthode
faire peut être avec FC.CE (vecteurs ) et dire que I est le projeté de C sur [EF]
donc FE.FI....
la je ne sais plus car je ne sais pas si ça meme au calcul de l'angle
I et J doivent nous servir dans les calculs ..
Elle peut se démontrer en 3 lignes à partir de C milieu de [IJ].
Tout en vecteurs (et en regardant la figure du tétraèdre) :
2.CI = 2.CE + 2.EI = 2.CE + EF = CE+CE +EF = CE + (CE +EF) = CE + CF.
2.CJ = 2.CG + 2.GJ = 2.CG+GH = CG+CG+GH = CG+(CG +GH) = CG + CH.
D'où : CE + CF + CG + CH = 2.CI + 2.CJ = 2(CI+CJ) = vecteur nul .
Ensuite tu multiplies cette égalité par le vecteur CE :
P = CE.(CE + CF + CG + CH) toujours tout en vecteurs.
D'une part P = 0 car le vecteur CE + CF + CG + CH est égal au vecteur nul.
D'autre part, quand tu développes, le premier terme est CE2.
Les 3 autres termes sont les produits scalaires
CE.CF, CE.CG et CE.CH
Ils sont tous les 3 égaux au produit des longueurs par le cosinus de l'angle ECF, c'est à dire à :
CE
CFcos(ECF) = CE2cos(ECF)
D'où P = CE2 + 3CE2cos(ECF)
Or P = 0.
Donc CE2 + 3CE2cos(ECF) = 0
CE2(1+3cos(ECF)) = 0.
La longueur CE n'est pas nulle, donc 1+3cos(ECF) = 0.
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