GH = a
IG = IH = aV3/2

dans le triangle IJH rectangle en J.

JH = a/2 et IH =aV3/2

Oui, tu peux continuer.

je cherche IJ²

IH²=IJ²+JH²
IJ²=IH²-JH²
IJ²=a-V3/2² - a/2²
IJ²=
IJ²=

là je bloque

IJ²=IH²-JH² : Oui.

JH = a/2 ; donc JH² = (a/2)² = a²/4.

IH = a3/2 ; donc IH² = a²(3)d²/2² = 3a²/4.

IJ² = 3a²/4 - a²/4 = ....

Avec de vraies fractions :

donc IJ²=2a²
et IJ =V2a

Le 4 du dénominateur a disparu ?

donc IJ²=2a²/4
et IJ =V2a/4

IJ = (2a²/4) = (2a²) / 4 = (a2) / 2

Bon, tu as été très courageux de me suivre jusque là
Tu as eu raison d'insister sur le côté produit scalaire absent.
Je me suis aussi aperçue que je n'utilisais pas non plus ceci qui est dans l'énoncé :
« ECF = FCG=GCH=HCE (mesures des angles) »

J'ai fini par vraiment chercher et trouver quelque chose de beaucoup plus rapide.
Mais il faut connaître cette égalité avec le point C centre du tétraèdre régulier :



La connais-tu ?

alors je pense qu'il faut passer par les vecteurs car non je ne connais pas cette méthode
faire peut être avec FC.CE (vecteurs ) et dire que I est le projeté de C sur [EF]
donc FE.FI....
la je ne sais plus car je ne sais pas si ça meme au calcul de l'angle

I et J doivent nous servir dans les calculs ..

Elle peut se démontrer en 3 lignes à partir de C milieu de [IJ].
Tout en vecteurs (et en regardant la figure du tétraèdre) :
2.CI = 2.CE + 2.EI = 2.CE + EF = CE+CE +EF = CE + (CE +EF) = CE + CF.
2.CJ = 2.CG + 2.GJ = 2.CG+GH = CG+CG+GH = CG+(CG +GH) = CG + CH.
D'où : CE + CF + CG + CH = 2.CI + 2.CJ = 2(CI+CJ) = vecteur nul .

Ensuite tu multiplies cette égalité par le vecteur CE :
P = CE.(CE + CF + CG + CH) toujours tout en vecteurs.
D'une part P = 0 car le vecteur CE + CF + CG + CH est égal au vecteur nul.

D'autre part, quand tu développes, le premier terme est CE².
Les 3 autres termes sont les produits scalaires
CE.CF, CE.CG et CE.CH
Ils sont tous les 3 égaux au produit des longueurs par le cosinus de l'angle ECF, c'est à dire à :
CECFcos(ECF) = CE²cos(ECF)

D'où P = CE² + 3CE²cos(ECF)

Or P = 0.
Donc CE² + 3CE²cos(ECF) = 0
CE²(1+3cos(ECF)) = 0.
La longueur CE n'est pas nulle, donc 1+3cos(ECF) = 0.

Essaye de digérer ce gros pavé avec calme.
Je ne vais plus être disponible un moment.

oui je vais essayer... en tout cas merci beaucoup pour votre aide !!