Bonjour à tous.

Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose problèmes :

On se propose de déterminer une valeur approché de   en utilisant la méthode d'Archimède
Le périmètre d'un cercle est majoré par celui de tout polygone régulier circonscrit et minoré par tout polygone régulier inscrit .On considère un cercle de rayon 1 .Partant d'un triangle équilatéral , on double le nombre de côtés afin d'obtenir un hexagone régulier. On note pn  , respectivement qn le demi périmètre du polygone inscrit ; respectivement circonscrit. On note Ak les sommets du  polygone inscrit et Bk  les sommets du  polygone circonscrit . Avec les notations du problème on remarque que le polygone possède  3x2^n  cotés .

(voir figure jointe)

1 ) Construire la figure pour le cas ou n = 1 ( c'est à dire dans le cas de l'hexagone )  . Quelle est la mesure de l'angle A(k)OA(k+1) ? et B(k)OA(k+1) ?

2 )  Calculer p1 et q1 .En déduire un premier encadrement de pi.

Cas général :
3 ) Exprimer  en fonction de n . Dans la suite du problème on pose
(teta)n =   et cn = cos (teta)n .

4 ) Calculer pn en fonction de n .

5 ) Montrer que pn = p(n+1)x c(n+1) .

6 ) Exprimer qn en fonction de pn  et cn .
7 )        a )Montrer que c0 = 1/2 et c(n+1) = (racine carré)( (1+cn)/2 )    (1)

     b ) Montrer par récurrence en utilisant (1) que pour tout entier naturel n
on a 0 < ou = cn < ou = 1 .

8 ) Montrer que les suites (pn ) et (qn ) sont deux suites adjacentes .

9 ) Montrer que la suite (pn ) converge vers pi .

10 )  Montrer que pour tout x positif on a , |sinx - x| < ou = (x^3)/(3!)    et en déduire que pour tout entier naturel n une majoration de |pn-pi|.
11 ) Déterminer le plus petit entier naturel n pour obtenir une précision à 10-6 près de pi .

12 ) Accélération de la convergence .

On considère la suite définie par Un = (-pn + 4p(n+1)) / 3 pour tout entier naturel n ; montrer que cette suite converge vers   .

Vérifier que la convergence est plus rapide que celle de la suite ( pn ) .


Alors en fait j'ai déja un problème avec l'énoncé ... Je suis en fait parti du principe que le polygone possèdant 3x2^n cotés était le polygone inscrit ; mais je ne suis pas vraiment sur que l'énoncé veuille dire ça ...

1) je trouve que l'angle A(k)OA(k+1) = 2pi/6 et B(k)OB(k+1)= 2pi/3

2) en suite je trouve p1 = 3 et q1 = 5.19 environ

3) je trouve A(k)OA(k+1)= 2pi/(3x2^n)

4) pn = 3 x ( 2-2cos(2pi/(3x2^n) ) mais le problème ici c'est que ca n'intègre pas cn ... étant donné que cn = cos (pi/3x2^n) ... A moins que je n'ai intégrer c(n-1) mais à ce moment là je n'arrive pas a trouver pour la question 5).
Donc je bloque à partir de cette question.

Si vous pouviez m'aider à me débloquer

Merci beaucoup pour votre aide !