Bonjour,
Déjà, il faut voir le pentagone comme formé de 5 triangles...
Fais un dessin, regarde comment sont ces triangles.
Combien vaut l'angle au sommet O de chaque triangle ?

Au fait, pourquoi l'énoncé dit-il (BE) diagonale ? Diagonale de quoi ? de ABOE ?

je ne sais pas pourquoi l'énoncé dit "diagonale", le mot diagonale est entre guillemets.

l'angle au sommet O vaut 72°

OK pour le 72°

Si on dessine un triangle (par exemple le OAB comme suggère l'énoncé), sa base est AB, il est isocèle : OA=OB=rayon r d'angle au sommet 72°

En utilisant de la trigo (cos et sin de 36°) on peut avoir l'expression de la base et de la hauteur de ce triangle en fonction de r et de l'angle 36°

Ensuite on peut avoir l'expression en fonction de r et de cos et sin 36°, de l'aire de ce triangle.

Aire du pentagone = 5xaire du triangle.

avec cette méthode, pour démontrer le résultat, j'ai dû utiliser
2 sin(36°)cos(36°)=sin(72°)
qui n'est pas au programme de Seconde.
aire(AOB)=(1/2) OH x AB=(1/2)r cos(36)x(2rsin(36°)=r^2 sin(36)cos(36)
et là je bloque..

[OH] étant la hauteur du triangle OAB isocèle en O

Bonjour à tous,

Oui j'ai vu le hic avec sin (2a) = 2sina cos a

Il doit être possible de résoudre le problème en faisant des "découpages-collages" de demi triangles isocèles, sachant que BOEA est un losange formé de deux triangles isocèles...
C'est certainement quelque chose comme ça qu'attend le prof.

C'est à la mode en ce moment ce genre de résolutions géométriques "au nez" , en collège et en 2nde.

Par la méthode purement trigo, avec ce problème de relation d'addition trigo qui n'est pas au prog de 2nde, il faut donc continuer ainsi :

Aire pentagone = 5r² sin36 cos 36 = 5/2 r² sin 72°

Ensuite, tracé du losange BAEO et se sa diagonale BE.
J'appelle H le point d'inters. de (BE) et (AO).
le triangle BEO est isocèle en O, avec angle au sommet de 72x2 °
Trigo dans BEO donne : BH = r sin 72°
donc BE = 2r sin 72°

Ensuite il n'y a plus qu'à comparer aire trouvée ci-dessus du pentagone avec la longueur BE.

BOEA n'est pas un losange car (OB) n'est pas parallèle à  (EA)

Pardon, il fallait lire juste au-dessus trigo dans BHO, bien sûr, et non dans BEO

on appelle K  le projeté orthogonal de B sur (OA)

aire(AOB)=(1/2) KB x OA=(1/4) KB x (2r)= (1/8) EB x (2r)
aire (ABCDE)=(5/8) EB x (2r)

merci pour ton aide

Il fallait avoir l'idée ! Bravo !