Bonjour
J'aurai besoin de votre aide pour vérifier et pour m'aider. SVP

F est la fonction définie sur [0;+oo[ par :
F(x)= intégrale de 0 à x de ln [1+ e^(-2t)] dt.

1) ETUDIER LE SENS DE VARIATION DE F SUR [0;+oo[

) F'(x) = ln(1+e-2x) voir ton cours
donc F'(x) >=0 Donc F est strictement croissant sur [0;+oo[

2) a est un réel strictement positif.

a) DEMONTRER QUE, POUR TOUT t DE L'INTERVALLE [1 ; 1+a], on a :
1 / (1+a) < =1/t < =1
là t appartient à [1;1+a] donc on peut écrire
1<=t<=a+1
donc s'agissant de nombres positifs et si on considère que c'est une fonction inverse alors la fonction est décroissante sur R+ alors on inverse l'ordre.
1/(a+1)<=1/t<=1


b) EN DEDUIRE QUE a / ( 1+a) < ln ( 1+a) < a
ça je ne sais pas le démontrer hepl me SVP
3) x est un réel de [0 ; +oo[.
DEDUIRE DE LA QUESTION 2) QUE

--> intégrale de 0 à x de
[ e^(-2t)] / [1+ e^(-2t)] dt<F(x)< intégrale de 0 à x de [e^(-2t)] dt
on suppose que a= e-2t donc après on remplaçant dans la 2.a on obtient l'égalité

- (1/2) ln (2)- (1/2) ln (1+ e^[-2x]) < F(x) < (1/2)- (1/2)e^(-2x)
on fait les intégrale de la question précédente donc on a l'égalité.
4) On admet que la fonction F admet une limite réelle en +oo notée l.

DEMONTRER QUE (1/2) ln(2) < l < (1/2)
lim 1/2ln2-1/2ln(1+e-2t)=1/2ln2
x-> +oo
lim 1/2-1/2e-2t=1/2
x-> +oo
Mais a partir de la question 5 je suis pommé aidez SVP
5) u est la suite définie, pour tout n appartenant à N, par
Un = intégrale de n à n+1 de ln [ 1+ e^(-2t)]dt

a) DEMONTRER QUE POUR TOUT n APPARTENANT A N, ON A:
0 < Un< ln [1+ e^(-2n)]

b) DETERMINER LA LIMITE DE LA SUITE u

6) Pour tout n appartenant à N on pose
Sn= U0+U1+...+Un

a) EXPRIMER Sn A L'AIDE DE F ET DE n

b) LA SUITE (Sn) EST ELLE CONVERGENTE ?
SI OUI DONNER SA LIMITE.

voilà, j'ai beaucoup de mal , je vous serai extrêmement reconnaissante.
aidez moi SVP
Et merci d'avance.