Bonjour
pourquoi tu ne résous pas directement le système que tu as obtenu en haut de ta deuxième page ?
tu as droit à quoi comme outils de calcul ? la plupart des calculettes te donneront les sommes nécessaires rien qu'en entrant les listes de valeurs, et sinon ça se fait bien dans un tableau "à la main", papier crayon, à l'ancienne....

bonjour,
greg765 demande une expression littérale et croit pouvoir s'abstraire d'un calcul d'expressions forcément compliquées
D'un point de vue algorithmique c'est assez classique mais avoir une expression littérale des coefficients a,b,c,d même avec une matrice 3x3 ; quel intérêt? sauf pour des matrices d'école où l'expression de M^-1 se simplifie,

il lui reste la méthode du déterminant et des cofacteurs

ce n'est pas si compliqué que ça, c'est une généralisation de la droite aux moindres carrés : la dernière équation dit que le plan cherché passe par le point moyen, une fois divisée par n, et en se débrouillant bien en faisant des opérations sur les lignes, on fait apparaitre des variances et des covariances

Bonjour,

Tout d'abord merci pour vos réponses !

> 1er message de lafol :

Au départ j'ai essayé de résoudre directement le système de 3 équations à 3 inconnues fourni en haut de la deuxième feuille. Mais vu les valeurs dont je dispose (somme des x au carré = 262800, somme des y au carré = 128400, etc...) le système est assez lourd à résoudre, j'ai écris quelques lignes mais j'ai pas été jusqu'au bout.

Niveau outils de calculs, j'ai juste droit à une calculatrice non programmable, type collège. J'ai regardé, elle dispose effectivement de listes, dont je me suis servi pour calculer les différents termes à l'intérieur des matrices. Ceci dit le problème énoncé ci-dessus (lourdeur du système à résoudre) reste posé.

> Message de DOMOREA :

Je suis d'accord que le calcul n'est pas passionnant à faire et qu'il serait bien plus rapide de le faire via un algorithme... Mais hélas en principe je ne suis pas sensé procéder comme ça ! J'ai donc essayé d'inverser la matrice par la méthode des déterminants / cofacteurs. Encore une fois, ça se révèle très lourd. J'ai une grosse écriture, mais l'expression de mon déterminant tient sur deux lignes... Et si je le calcule, je trouve un nombre à la puissance 10... De même, les cofacteurs sont assez longs à écrire... Je fais une annale d'examen, c'est un exercice parmi trois sensés se faire en 1h30. Les autres sont plus rapides, ceci dit ça laisse environ 45' pour traiter cet exercice, ça me paraît donc lourd comme méthode ! En plus, le sujet réponse a un espace limité pour répondre, ce qui n'arrange rien, enfin bon ! Du coup je pense que cette méthode aurait été efficace avec des matrices moins lourdes, ou plus petites...

> Deuxième message de lafol :

Je ne suis pas un spécialiste de la méthode des moindres carrés, mais cette dernière méthode est peut-être la plus intéressante. En cherchant sur internet, j'ai effectivement trouvé cette notion de droite des moindres carrés passant par un point moyen (x barre, y barre), en 2D. Il est probablement possible de faire une analogie en 3D qui simplifiera peut-être le problème (changement de variable ?). Ceci dit je ne sais pas comment partir...

Avez-vous connaissance d'un exemple traîé avec cette méthode pour un plan des moindres carrés ?

Merci d'avance.

Ps : J'ai "triché" et utilisé un solveur d'équation linéaires en ligne pour déterminer a, b, c. On trouve :
a = 1319/8328, b = 3151/41640, c = -9528/347
J'ai tracé sous Grapher le plan obtenu après avoir placé mes 9 points, et ces valeurs de a, b, c semblent correctes.
Reste à savoir comment les trouver à la main par une méthode rapide !

Tu divises ta dernière équation par n : tu obtiens ni plus ni moins

d'ailleurs on va diviser les deux autres aussi par n :

pour la première, dans laquelle on remplace par : on obteint

ou encore



on reconnait alors

je te laisse transformer de la même façon la deuxième équation

tu auras alors un système de deux équations à deux inconnues, ce sera plus aisé à résoudre, et ta calculette collège te calcule peut-être bien directement les variances et covariances ?

Bonjour,

merci pour cette explication !

Effectivement, passer par les variances et covariances a bien simplifié le système à résoudre ! Je suis enfin parvenu au bon résultat à la main, je trouve le bon résultat au final. Et ça semble effectivement la méthode la moins lourde calculatoirement.

Le problème est juste que ma calculatrice ne calcule pas les variances et les covariances, du coup je suis obligé de repasser par l'écart-type, qu'elle sait calculer, ça alourdit un peu les choses mais bon, au final ça reste faisable  !

Merci beaucoup pour votre aide !!

si elle calcule les écart-types, assure toi qu'elle calcule les bons : certaines proposent deux écart-types différents, dont un qui n'est pas celui de la série donnée, mais une estimation de celui d'une population dont la série donnée ne serait qu'un échantillon. Ici, il faut celui de la série donnée.

La méthode que tu as employée pour obtenir tes équations a un défaut : tu ne sais pas si ton plan réalise un minimum, un maximum ou un point-selle...

Tu as de la chance : en passant par et en cherchant le projeté orthogonal de sur l'espace de dimension 3 engendré par , et , on obtient rigoureusement les mêmes équations, et là, on sait que le projeté orthogonal réalise le min de la distance, donc du carré de la distance, la fonction carré étant croissante sur (le carré de cette distance étant pile poile ta somme W)

Oui j'ai effectivement vu la présence de deux écarts-types différents, et Sx.
Visiblement d'après ce que j'ai pu tester le Sx semble être celui qu'il faut que j'utilise. (J'ai tracé les points et le plan et j'obtiens bien un plan qui semble passer "au plus près" des points, même si c'est qualitatif comme appréciation). Mais merci pour l'avertissement !

Sinon je ne suis pas sûr de bien comprendre l'explication concernent le plan avec un minimum, maximum, point-selle. Je ne suis pas très bon en algèbre.
Enfin ce que je comprends (mais je me trompe peut-être) c'est que le plan décrit par les points pourrait avoir été une surface courbe (exemple : cylindre en 3D), alors que la méthode de résolution que j'ai employée cherche un simple plan. Et que donc mon résultat aurait pu être faux dans certains cas, car il ne décrirait pas ça...

Ceci dit, si c'est ça, je ne pense pas tomber sur de tels cas pour le moment. J'ai fait 3 exercices similaires pour m'entraîner et hors mis les valeurs qui étaient différentes, la disposition des points semblait toujours la même.

Encore merci !

non, ce que je t'explique, c'est que quand tu cherches tes coeffs pour annuler des dérivées partielles, tu n'es pas certain d'obtenir un minimum pour W, et ce n'est pas de l'algèbre, mais de l'analyse
Tout comme en dimension 1, quand tu as f'(a) = 0, tu n'as pas forcément f(a) qui est un minimum de f : regarde la fonction cube en 0, par exemple ...

le fait que tu aies un plan et pas une autre surface, ça c'est un choix au départ. Une fois que tu as décidé de chercher un plan, c'est un plan que tu vas trouver, et parmi tous les plans non parallèles à l'axe Oz, le meilleur au sens des moindres carrés.

Et c'est vrai que chercher un plan sans avoir d'a priori sur la disposition des points, ça peut mener à des résultats sans grand intérêt (un peu comme chercher une droite des moindres carrés pour des points qui auraient été choisis sur une parabole au départ, par exemple)

Ah oui ça y-est, j'ai compris !

Effectivement, ce n'est pas parce que la dérivée s'annule que c'est un minimum...
Ceci dit je pense que vu le type d'exercice qui est posé il est toléré de procéder directement comme ça, même si ce n'est pas forcément très rigoureux on va dire...

Encore merci pour ces explications !