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Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12)

Posté par
juliec 09-12-12 à 17:54

Bonjour à tous, voilà j'ai cet exercice à faire :
"C cercle trigo associé au repère orthonormé direct (O,I,J)
M point de C tel que l'angle orienté (OI,OM)=Pi/6 (2pi)

1) coordonnées du point M?
2) distance IM
3) a. démontrer que IM = 2*sin/12
   b. déduire la valeur exacte de sin/12
4) calculer la valeur exacte de /12
5) déduire les lignes trigo de  11 13  5 et 7  /12"

J'y suis arrivée car cet exo a déjà été traité mais il y a quand même quelques endroits où je n'ai pas tous compris.
Pour la question 2,  je ne comprends pas comment on arrive à racine(2- racine 3).
Et aussi pour la question 5 je n'arrive pas à faire pour 5pi/12 et 7pi/12.
Je pense que cela doit être simple mais je préfère avoir bien compris avant d'appliquer.
Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
heklare : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 09-12-12 à 18:27

Bonsoir
si l'on appelle H le projeté orthogonal de M sur (OI) on a IM^2=MH^2+HI^2

HI=1-\cos\dfrac{\pi}{6}=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}

MH=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}

IM^2=\dfrac{1+(2-\sqrt{3})^2}{4}=\dfrac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}

IM=\sqrt{2-\sqrt{3}}


\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}

\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}

Posté par
juliecre : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 09-12-12 à 18:44

Merci beaucoup, je vais pouvoir finir mon exercice maintenant .

Posté par
Elisabeth67re : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 09-12-12 à 19:07

Bonsoir juliec,

Si on appelle H le projeté orthogonal de M sur (OI) , on a OI = cos/6 = 3/2

Donc IH = 1-cos/6

On a aussi HM = sin/6

Ensuite on utilise Pythagore pour obtenir l'égalité IM² =  IH²+ HM²

IM² = (1-cos/6)² + sin²/6
    = 1 -2*3/2 +cos²/6 + sin²/6
    = 2 - 3

Posté par
juliecre : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 10-12-12 à 19:20

Je suis vraiment désolé d'encore vous demander, mais en fait je pense que je ne comprends pas la démarche pour la question 2, je suis vraiment désolée de vous demander autant comme ça mais je déteste recopier les choses sans les avoir comprises au départ.
Je pense que je ne comprends pas la démarche, comme pourquoi :
IM= MH[sup] + HI[sup][/sup][/sup]
et que IH = 1 - cos/6
HM = sin/6

J'espère que vous pourrais m'aider, merci d'avance.

Posté par
heklare : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 10-12-12 à 20:13

A un nombre réel correspond un point du cercle trigonométrique  les coordonnées de ce point dans le repère  orthonormé (O; I,J ) sont  (\cos x~;~\sin x)

Les coordonnées de M (question 1) sont \left( \cos \dfrac{\pi}{6}~;~\sin \dfrac{\pi}{6}\right)

H étant le projeté orthogonal de M sur  (OI) a pour abscisse \cos \dfrac{\pi}{6}

HI=OI-OH=1-\cos \dfrac{\pi}{6}  H appartenant à [OI]  et OI=1 puisque  c'est le rayon du cercle trigonométrique

MH =\sin \dfrac{\pi}{6} c'est l'ordonnée du point M

Posté par
juliecre : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 11-12-12 à 20:30

Je viens de comprendre mon erreur était toute bête j'avais mal placé le point H.
Merci à vous.

Posté par
heklare : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 11-12-12 à 20:34

de rien
j'aurais dû mettre une figure

Posté par
juliecre : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 12-12-12 à 14:32

C'est pas grave j'ai déjà mieux compris avec les explications, encore merci.

Posté par
Samebre : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 16-02-13 à 19:16

Excusez moi , mais comment on répond a ma question N:3  ? Je ne sais pas démontrer que IM= 2 x sin pi/12

Posté par
heklare : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 17-02-13 à 15:26

Bonjour

Bonjour se dit aussi et vous auriez pu dire que vous aviez le même exercice

Appelons I' le point diamétralement à I  le triangle  I'M I est un triangle rectangle en M puisqu'inscrit dans un demi cercle.

L'angle \widehat{MI'I}=\dfrac{\pi}{12} puisque l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc.
maintenant il n'y a plus qu'à appliquer la définition du sinus dans un triangle rectangle

\sin{\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\text{IM}}{\text{I\,I'}} or II'=2

Posté par
Samebre : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 19-02-13 à 13:39

Je suis désolé , je pensais avoir dis bonjour !
Merci pour votre aide ..

Posté par
valparaisore : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 22-03-17 à 08:44

Bonjour
hekla : j'ai regardé ce sujet et ta résolution avec l'angle inscrit est très bien
si on reste dans le premier quadrant on ne peut pas montrer que IM=2sin(pi/12)si on reste dans le premier quadrant?
j'avais essayé d'appeler A(cospi/12,sinpi/12)
et montré que OIA et OAM sont isométriques mais sans succès.
en bref ma question: pas d'autre solution que de créer ce point I'?
merci

Posté par
heklare : Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12) 22-03-17 à 11:29

Bonjour

le cas de l'exercice  est en noir  en bleu un autre cas situé dans le deuxième quadrant

avec les angles associés on peut se ramener  dans le premier

variante  on trace la bissectrice du triangle IOM   c'est aussi la hauteur  ou la médiatrice

OIM isocèle en O

on applique les relations trigonométriques dans le triangle OIK

\sin \widehat{\text{IOK}}=\dfrac{\text{KI}}{\text{OI}}=\text{KI}=\dfrac{1}{2}\text{IM}

en reprenant les valeurs de l'énoncé  on a bien aussi \text{IM}=2\sin \dfrac{\pi}{12}

Calcul de cos (pi/12) et sin (pi/12)


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