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Calcul de déterminant

Posté par
infophile 10-05-08 à 00:36

Bonsoir

J'aime pas les déterminants

Citation :
Soient 3$ \rm (a_0,a_1,...,a_{n-1})\in \mathbb{C}^{n}, 3$ \rm \omega=e^{\frac{2i\pi}{n}} et 3$ \rm \forall p\in \mathbb{N}, S_p=a_0+a_1\omega^p+\cdots+a_{n-1}(\omega^p)^{n-1}.

3$ \rm A=\begin{pmatrix}a_0&a_1&a_2&\cdots &a_{n-1}\\a_{n-1}&a_0&a_1&\cdots &a_{n-2}\\a_{n-2}&a_{n-1}&a_0&\cdots &a_{n-3}\\\vdots&\vdots&\vdots & \ddots&\vdots \\a_1&a2&a3&\cdots &a_0\end{pmatrix} et 3$ \rm M=\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega&\omega^2&\cdots &\omega^{n-1}\\1&\omega^2&\omega^4&\cdots &\omega^{2(n-1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&\cdots &\omega^{(n-1)(n-1)}\end{pmatrix}

a) Calculer 3$ \rm M^2 et en déduire son déterminant.

b) Calculer 3$ \rm AM et 3$ \rm MAM en fonction de 3$ \rm S_0,...,S_{n-1} et en déduire le déterminant de 3$ \rm A.


a) Je dois faire une erreur de calcul mais je trouve 3$ \rm Det(M^2)=0 avec pour la matrice 3$ \rm M^2 que des coefficients nuls sauf 3$ \rm a_{11}=n.

b) Je trouve la matrice suivante :

3$ \rm AM=\begin{pmatrix}S_0&S_1&S_2&\cdots &S_{n-1}\\S_0&\omega S_1&\omega^2S_2&\cdots &\omega^{n-1}S_{n-1}\\S_0&\omega^2S_1&\omega^4S_2&\cdots &\omega^{2(n-1)}S_{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\S_0&\omega^{n-1}S_1&\omega^{2(n-1)}S_2&\cdots &\omega^{(n-1)(n-1)}S_{n-1}\end{pmatrix}

Même problème pour 3$ \rm MAM je trouve que des coefficients nuls sauf 3$ \rm a_{11}=nS_0.

Merci

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 00:39

PS : J'ai pensé aussi à utiliser Vandermonde

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul de déterminant 10-05-08 à 00:53

Salut Kev !

Les déterminants à minuit ? Tu auras de vraies cauchemars cette nuit !

Bon, la forme des coefficients de M est 3$\rm M=\(\omega^{(k-1)(j-1)}\)_{1\le k,j\le n}

Puis utilise la formule de produit cauchy

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:04

Salut momo

3$ \rm M^2=(a_{ij}) et 3$ \rm a_{ij}=\Bigsum_{k=1}^{n}\omega^{(i-1)(k-1)}\omega^{(k-1)(j-1)}=\Bigsum_{k=1}^{n}\omega^{(k-1)(i+j-2)}=\Bigsum_{k=1}^{n}(\omega^{i+j-2})^{k-1}=\frac{1-(\omega^{i+j-2})^{n}}{1-\omega^{i+j-2}}=0 pour 3$ \rm \omega^{i+j-2}\neq 1 sinon 3$ \rm i+j=n+2.. ok ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:09

euuuh pourquoi i+j=n+2 ? i et j ne peuvent pas dépasser n .. c'est plutôt i+j=2 si je ne déconne pas à cette heure à !

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:13

Oui i et j ne peuvent pas dépasser n, mais leur somme i+j oui, non ?

Dans tous les cas c'est bien ce que je trouvais, a_{11}=n et des 0 partout ailleurs.

Mais ce qui me semble bizarre c'est qu'ainsi le déterminant est nul !?

Merci

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:31

Du coup à partir de la formule on trouve plutôt :

3$ \rm M^2=\begin{pmatrix}n&0&0&0&\cdots&0\\0&0&0&0&\cdots &n\\0&0&0&\cdots&n&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&n&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}

Merci momo

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:31

tu auras les deux : i+j=2 et i+j=n+2, ce sont les facteurs où on aura n
sinon ce sont des 0

n 0 ...  0
0  ... n 0
0 ...n 0 0
.   .    .    .
.   .    .    .
0 n 0 . 0

tu sais que le déterminant est une forme multilinéaire alternée, on fera une permutation \sigma sur les colonnes de façon qu'on aura nI

donc 3$\rm \det(M^2)=\varepsilon (\sigma)\det(nI_n)=\varepsilon n^n avec 3$\rm\varepsilon =\pm 1

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:34

Et ainsi en développant par rapport à la première ligne, puis à partir de la dernière ligne de la matrice extraite en itérant on obtient sauf erreur 3$ \rm Det(M^2)=n^n.

Juste ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:34

n'oublie pas la signature !

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:37

D'accord momo merci

Tu confirmes pour 3$ \rm AM ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:42

Oui c'est bien ça AM !

en fait, ton exo essaie de calculer le déterminant circulant ! Ta matrice A s'appelle la matrice circulante.

je te laisse MAM

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:46

Bon avant d'aller dormir () quand tu auras terminé ton MAM alors je pense que tu auras une forme simple pour son det. det(MAM)=det(M)²det(A)=det(M²)*det(A) et tu pourras alors trouver det(A) puisque t'as calculer det(M²) au début

allez bonne nuit ! et fais de beaux rêves ! ()

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 01:57

Oui la fin j'avais trouvé

C'est le calcul de 3$ \rm MAM où je suis sceptique, je vais reprendre ça calmement demain.

Merci

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 02:06

Ah oui de la même façon on obtient :

3$ \rm MAM=\begin{pmatrix}nS_0&0&0&0&\cdots&0\\0&0&0&0&\cdots &nS_{n-1}\\0&0&0&\cdots&nS_{n-2}&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&nS_1&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}

En applique une permutation 3$ \rm \sigma' bien choisie et ainsi 3$ \rm Det(MAM)=\epsilon(\sigma')n^nS_0S_1\cdots S_{n-1}

Et on en déduit 3$ \rm \fbox{Det(A)=\epsilon(\sigma_n)\Bigsum_{i=0}^{n-1}S_i}

Il doit y avoir possibilité de simplifier ça

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 02:08

Non finalement je ne pense pas que ça se simplifie, j'ai vérifié le résultat ici mais eux n'ont pas de signature..

A tout à l'heure, dodo

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 13:00

Ah d'accord j'ai compris, vu qu'on applique la même permutation la signature est élevée au carré donc égale à 1.

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 13:04

Euh j'voulais dire au simplifie par la signature

Posté par
infophilere : Calcul de déterminant 10-05-08 à 13:06

on simplifie* (je vais y arriver )


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