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Calcul de déterminants
Salut 
Un petit exo de déterminants 
Soit
Montrer que avec A matrice carrée d'ordre n.
Merci
Ben par rapport à a !
Si tu veux montrer que c'est vrai pour tout complexe, vu que tu n'as certainement pas vu ce que c'était que dériver par rapport à un complexe, tu peux remarquer que ce déterminant est un polynôme en a. Il te suffit donc de démontrer la relation pour a réel, et tu l'auras pour a complexe.
Kaiser
blague à part : j'étais très sérieux quand je disais ça, malgré le smiley ! 
Je dois alors écrire mon déterminant puis développer suivant des lignes? je ne vois pas vraiment comment dériver det(A+aU) puisque je n'ai pas devant moi une expression simple et précise
Mais tu sais que le déterminant est n linéaire. La dérivation d'une telle application est à peu près la même chose que la dérivée d'un produit.
Plus précisément, pour faire simple : si tu as une application bilinéaire B de à valeurs dans
et si tu as f et g deux fonctions
à valeur réelles, alors B(f,g) est bien définie, dérivable et sa dérivée est égale à B(f',g)+B(f,g').
Pour une application n-linéaire, la dérivée de
OK ?
Kaiser
Euh oui on a fait cette propriété dans un exo mais c'était juste une démo pour n=2 puis une généralisation (juste conjecture) pour n quelconque.
bon j'aurais à chaque fois la i-ème colonne qui remplie de 1 mais j'avoue ne pas avoir une suite 
OK. Tu obtiens donc une somme de déterminants dont chacun possède une colonne remplie de 1.
Ensuite, en effectuant des opérations simples sur les colonnes, débarrasse-toi des a qui se trouvent sur les autres colonnes. Enfin, développe ce déterminant par rapport à cette colonne de 1.
Kaiser
Tant qu'on y est , j'ai parfois des probs avec ces opérations 
En ce qui concerne les matrices c'était facile, mais pour les dét ...
je donne un exemple
de comment on passe à:
?
En soustrayant à la première colonne de la matrice initiale, toutes les autres, on peut voir que la fonction f qui à x associe det(A+xU) est affine.
- On a f(0)= det A.
- D'autre part la pente de f vaut lim (1/x)det(A+xU) (x->+oo)
Si on note C1, C2, ..., Cn les colonnes de A, et V la colonne constituée exclusivement de "1", on voit que
det(A+xU)=det(xV+C1,C2-C1,...Cn-C1). Donc lim (1/x)det(A+xU)=det(V,C2-C1,...,Cn-C1)
monrow > tu ajoutes la deuxième colonne et la 3ème colonne à la première colonne.
blang > ensuite, comment tu fais pour montrer (de manière pas trop calculatoire ! 
) que ce déterminant est égal à la somme des cofacteurs ?
Kaiser
@Kaiser:
En le développant par rapport à la première colonne: on obtient une somme de (+/-) déterminants égaux chacun au déterminant de la matrice obtenue en remplaçant une des lignes de A par des "1".
Dès que j'ai deux minutes, je poste des détails
Kaiser>> désolé pour des question assez bêtes comme celles là , des fois je me rend compte que je suis en train de raconter des bêtises comme ce qui s'est passé en été (Kerf=Kerf²....) c'était tout stupide et j'ai mis pour ça deux topics
Sinon, dans chaque déterminant de la somme, je multiplie la colonnes des 1 par a (et donc diviser le déterminant par après j'effectue Ci -> Ci-colonnes des a pour tout i différent de celui où il y a les a.
Après je pense que je pourrais enlever le a avec le 1/a en factorisant dans la colonne
je sens un peu de comatrices là mais ... développer chaque dét suivant la colonne des 1 sera ... dangereux dans les calculs
Blang>> j'avoue pas trop capter ... mais je vais revoir ça après avoir terminé cette méthode
désolé pour des question assez bêtes comme celles là , des fois je me rend compte que je suis en train de raconter des bêtises comme ce qui s'est passé en été (Kerf=Kerf²....) c'était tout stupide et j'ai mis pour ça deux topics
Aucun problème !
Sinon, dans chaque déterminant de la somme, je multiplie la colonnes des 1 par a (et donc diviser le déterminant par après j'effectue Ci -> Ci-colonnes des a pour tout i différent de celui où il y a les a.
Pas la peine de multiplier par a : dis simplement que, si i est la colonne pleine de 1, pour j différent de i, tu soustraies a fois la colonne i à la colonne j.
je sens un peu de comatrices là mais ... développer chaque dét suivant la colonne des 1 sera ... dangereux dans les calculs
lorsque tu développes, tu reconnaitra les termes recherchés : bref, quand je te dis de calculer ce déterminant, ça ne veut pas dire une expression "exacte" en fonction des coefficients.
blang > OK ! (j'essaie de voir à quelle ligne de 1 tu fais allusion)
Kaiser
quand je te dis de calculer ce déterminant, ça ne veut pas dire une expression "exacte" en fonction des coefficients.
Moi j'ai tout développé devant mes yeux et c'est trop calculatoire
Comment va -ton connaître ce qu'on aura sans développer en fonction des coefficients?OK.
En développant les déterminants de tout à l'heure par rapport à la colonne de 1, tu ne trouvait pas des trucs de ce genre ?
Kaiser
Donc reprenons.
Le cofacteur(1,i) de la matrice M=(V,C2-C1,...,Cn-C1) est le déterminant de la matrice Ai obtenue en remplaçant la ligne n°i par une ligne de "1" (retrancher à la première colonne de Ai, toutes ses autres colonnes: sur la ligne n°i, il n'y a que des zéros sauf à la colonne n°1). En développant le déterminant de Ai par rapport à la n°i, on obtient la somme des cofacteurs(i,j) de A.
Alors:
det(M)=
i(cofacteurs(1,i) de M)=ijcofacteurs(i,j) de A.
En développant le déterminant de Ai par rapport à la n°i
par rapport à la ligne n°i, bien sûr
de la matrice Ai obtenue en remplaçant la ligne n°i par une ligne de "1"
de la matrice Ai obtenue à partir de A en remplaçant la ligne n°i par une ligne de "1".
Voilà, j'espère que c'est clair.
blang > Juste une petite précision : la matrice est bien obtenue à partir de A ?
Si c'est bien ça, alors OK.
Kaiser
D'ailleurs, à la réflexion, le coup de la fonction affine (et de la limite) n'est pas du tout indispensable.
Je reprends donc depuis le début pour monrow:
Notons C1,C2,...,Cn et V la colonne exclusivement constituée de "1".
det(A+aU)=det(C1+aV,...,Cn+aV)=det(C1+aV,C2-C1,...,Cn-C1) (soustraire la première colonne à toutes les autres).
En utilisant la n-linéarité, on obtient donc det(A+aU)=det(C1,C2-C1,...,Cn-C1) + a det(V,C2-C1,...,Cn-C1).
Or det(C1,C2-C1,...,Cn-C1)=det(C1,C2,...,Cn)=det(A) (ajouter la première colonne à toutes les autres)
Donc det(A+aU)=det(A)+a det(V,C2-C1,...,Cn-C1).
Le cofacteur(1,i) de la matrice M=(V,C2-C1,...,Cn-C1) est le déterminant de la matrice Ai obtenue à partir de A en remplaçant la ligne n°i par une ligne de "1" (retrancher à la première colonne de Ai, toutes ses autres colonnes: sur la ligne n°i, il ne reste que des zéros sauf à la colonne n°1). En développant le déterminant de Ai par rapport à la ligne n°i, on obtient la somme des cofacteurs(i,j) de A.
Alors:
det(M)=i(cofacteurs(1,i) de M)=ijcofacteurs(i,j) de A.
Et enfin det(A+aU)=det(A)+ a det(M)=det(A)+cofacteurs de A.
Et enfin det(A+aU)=det(A)+ a det(M)=det(A)+
cofacteurs de A.J'ai oublié le "a":
det(A+aU)=det(A)+ a det(M)=det(A)+ a
cofacteurs de A.blang>> compris ...
Merci bcp à toi et à Kaiser ...
J'ai trouvé aussi une petite démo par récurrence, je la posterai si vous voulez
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