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calcul de l'inverse d'une matrice

Posté par
francis_aix 13-04-07 à 21:14

Bonsoir !

Je dois calculer la puissance n-ième de la matrice suivante:

1=\left(\begin{array}{ccc} \\ 2 & 1 & 1 \\ \\ 1 & 2 & 1 \\ \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right).

Je pense qu'il faut triangulariser... faire des changements de bases.

Merci de m'indiquer une piste.

Francis

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:17

Bonsoir francis_aix

tu peux encore faire mieux que de triangulariser : tu peux la diagonaliser (elle est symétrique réelle).

Kaiser

Posté par
jamo Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:18

Bonsoir,

j'ai calculé rapidement M², M3, M4 ... et toutes les puissances de M ont à peu prés la même forme :

- symétrique
- les 3 termes diagonaux égaux
- les 6 autres termes égaux
- un terme diagonal égal à un terme non-diagonal + 1

Donc, je suppose qu'on peut démontrer ça par récurrence ...

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:18

D'ailleurs, les valeurs propres sont relativement simples à trouver (sans passer par le polynôme caractéristique).

Kaiser

Posté par
francis_aixre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:18

diagonalisons alors !

mais c quoi la recette ? la méthode ? le moyen le plus rapide de répondre à une telle question ?

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:19

Finalement, l'idée de jamo (que je salue au passage ) à l'air d'être plus simple.

Kaiser

Posté par
jamo Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:21

M = [ 2 1 1 ; 1 2 1 ; 1 1 2 ]

M2 = [ 6 5 5 ; 5 6 5 ; 5 5 2 ]

M3 = [ 22 21 21 ; 21 22 21 ; 21 21 22 ]

M4 = [ 86 85 85 ; 85 86 85 ; 85 85 86 ]

M5 = [ 342 341 341 ; 341 342 341 ; 341 341 342 ]

...

Posté par
francis_aixre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:21

merci pour vos réponses !

Mais la technique qui marche dans le cas général c quoi ?

Posté par
jamo Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:22

Voilà jusque M5, mais je ne vois pas encore une formule se dégager pour trouver Mn

Posté par
lyonnaisre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:23

Bonjour

J'ai eu cette Matrice en DS !!!!

Tu introduit la matrice J =

1  1  1
1  1  1
1  1  1

Tu montres facilement (par récurence) que :

Jm = 3m-1J   avec  J0 = I3

Donc A = I3 + J   ces 2 matrices commutent ...

... formule du binôme !!

Et tu vas trouver :

Am = I3 + [(4m-1)/3].J

A+
Romain

Posté par
jamo Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:24

Ah si !!

on multiplie un terme diagonal par 4, et on retire 2 pour obtenir le terme diagonal suivant ...

Posté par
francis_aixre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:25

j'avais aussi testé la récurrence, et meme pb... je ne trouve pas de formule pour les éléments qui ne sont pas sur la diagonale

Posté par
lyonnaisre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:25

Ma méthode vous plait :D



(comme quoi ça sert les DS!)

Posté par
francis_aixre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:26

merci romain !!!!!

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:27

Dans le cas général, c'est-à-dire si la matrice n'est pas sympathique (pas diagonalisable), c'est de trouver un polynôme P annulateur de ta matrice (par exemple, le polynôme minimal) et savoir calculer le reste de la division euclidienne de \Large{X^{n}} par P.
Si l'on note \Large{R_{n}} ce reste, alors on aura \Large{A^{n}=R_{n}(A)}.

L'avantage de passer par cette méthode est que cela ne nécessaite de connaitre qu'un nombre fini de puissance de A.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:27

Bien vu Romain !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:30

merci Kasier, faut dire merci à mon prof !

Mais c'est vrai qu'après coup, ça se voit que A = I + J

Mais on y pense pas tout de suite ...

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:31

Posté par
jamo Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:31

Citation :
j'avais aussi testé la récurrence, et meme pb... je ne trouve pas de formule pour les éléments qui ne sont pas sur la diagonale


Les élements qui ne sont pas sur la diagonale sont égaux à ceux sur la diagonale moins 1 !

Posté par
jamo Moderateurre : calcul de l'inverse d'une matrice 13-04-07 à 21:42

Alors appelons :

M1 = M = [ 2 1 1 ; 1 2 1 ; 1 1 2 ]

Mn = Mn

Supposons que Mn = [dn an an ; an dn an ; an an dn]

Avec :
dn+1 = 4dn - 2

an=dn-1

d1 = 2 a1 = 1

Calculons Mn+1

Mn+1 = Mn*M

On trouve :

dn+1 = 2dn + 2an = 4dn - 2

an+1 = dn + 3an = dn + 3(dn - 1) = 4dn - 3 = dn+1 - 1

Conclusion : Ca marche !!

Maintenant, étant donné que dn est une suite arithmético-géométrique, on peut calculer dn en fonction de n ...

Posté par
francis_aixSolution ? 19-04-07 à 22:10

Bonsoir !

J'ai trouvé une solution je crois.

A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right).

Le but du jeu est de trouver une expression de A^n.

Cherchons les valeurs propres de la matrice A.

\lambda est une valeur propre de la matrice A si et seulement si \lambda est solution de l'équation \det\left(A-\lambda I\right)=0.

\begin{array}{cl} \\ & \det\left(A-\lambda I\right)=0 \\ \\ \Rightarrow & -\lambda^3+6\lambda^2-9\lambda+4=0 \\ \\ \Rightarrow & \lambda=4 \; ou\; \lambda=1 \\ \end{array}.

Les valeurs propres de la matrice A sont donc 1 et 4.

Cherchons alors les vecteurs propres de la matrice A.

X=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) est un vecteur propre de A si et seulement si AX=\lambda X où \lambda est une valeur propre.

Pour \lambda=1, on a:

\begin{array}{cl} \\ & AX=X \\ \\ \Rightarrow & (A-I)X=0 \\ \\ \Rightarrow & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \\ \Rightarrow & x+y+z=0 \\ \\ \Rightarrow & x=-y-z. \\ \\ \end{array}

On a alors X=\left(\begin{array}{c} -y-z \\ y \\ z\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right).

Les deux vecteurs propres associés à la valeur propre 1 sont donc \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) et \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right).

Pour \lambda=4, on a:

\begin{array}{cl} \\ & AX=X \\ \\ \Rightarrow & (A-4I)X=0 \\ \\ \Rightarrow & \left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \\ \Rightarrow & \left\{\begin{array}{c} -2x+y+z=0 \\ x-2y+z=0 \\ x+y-2z=0 \end{array}\right. \\ \\ \end{array}

On a alors X=\left(\begin{array}{c} x \\ x \\ x\end{array}\right).

Le vecteur propre associé à la valeur propre 4 est donc \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right).

On pose P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 &0 & 1\\ 0 &1 & 1 \end{array}\right).

On a alors P^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 &2 \\ 1&1 &1 \end{array}\right).

On pose B=P^{-1}AP.

B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 &0 & 4 \end{array}\right).

On a alors B^n=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 &0 & 4^n \end{array}\right).

On a A^n=PB^nP^{-1}.

A^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} \\ 2+4^n & -1+4^n & -1+4^n\\ \\ -1+4^n& 2+4^n &-1+4^n \\ \\ -1+4^n&-1+4^n & 2+4^n \\ \end{array}\right)

En fait c pas très dur mais c super très ch***t ! Il n'y a pas une méthode plus rapide ????

Francis

Posté par
raymond Correcteurcalcul de l'inverse d'une matrice 19-04-07 à 23:32

Bonsoir.

Le titre me semble peu adapté à la question.
Pour trouver les puissances d'une matrice, il existe un procédé assez simple qui repose sur le théorème de Cayley-Hamilton ( Si P est le polynôme caractéristique de A, alors P(A) = O).
Voilà l'idée.
1°) On calcule ce polynôme caractéristique P(X) = det(XI - A)
2°) On effectue la division euclidienne de XN par P(X). Dans le cas qui nous intéresse, deg(P) = 3, donc, cette division donnera :

XN = P(X).Q(X) + aNX² + bNX + cN (I).

En appliquant le théorème de Cayley-Hamilton :

AN = aNA² + bNA + cNI3 (II).

Il ne reste donc plus qu'à chercher : P(X), aN, bN, cN.

Le calcul de P(X) est simple : P(X) = (X - 1)²(X - 4). (I) devient :

XN = (X - 1)²(X - 4).Q(X) + aNX² + bNX + cN (I').

La recherche des trois constantes aN, bN, cN que je nomme a, b, c pour plus de simplicité, nécessite la construction d'un système à trois équations.
En remplaçant X par 1 et 4, dans (I'), cela donne déjà deux équations.
1 étant racine double, en dérivant (I') et en remplaçant X par 1, cel donne la dernière équation attendue. On se retrouve avec :

2$\textrm\{{16a + 4b + c = 4^n\\a + b + c = 1\\2a + b = n

Je trouve : 2$\textrm\{{a_N = \frac{1}{9}(4^N - 3N - 1)\\b_N = - \frac{1}{9}(2.4^N - 15N - 2)\\c_N = \frac{1}{9}(4^N - 12N + 8)

En reportant dans (II), on trouve AN en fonction de N, A², A, I3.

A plus RR.




Posté par
francis_aixPUISSANCE d'une matrice carré 20-04-07 à 08:27

Merci pour la méthode, je ne la connaissais pas. Disons que je n'y avais pas pensé.

Francis.


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