Bonjour!
On se propose de calculer la limite de: lorsque n+.
Pour n1, on pose:
et et
1) Montrer que: .
2)Montrer que les suites et sont adjacentes de limites commune L1.
3) Calculer: et .
4) Déduire de ce qui précède la valeur de:
Merci d'avance^^.
Pour 1, je pense à montrer que tel que ...
Pour2, montrer que les deux suites sont adjacentes est facile mais je n'ai pas réussi à montrer que L1. En fait, ( est croissante et est décroissante). Je dois donc montrer que ou procéder par autre chose .
Pour 3:
Pour4: ... ^_^''
J 'ai une idée pour résoudre 1..
Pour tout k*, la fonction ln est continue sur [k;k+1], dérivable sur ]k;k+1[. Donc,d'après le théorème des accroissements finis:
c]k;k+1[:
Puisque c]k;k+1[, alors:
Je m'intéresse de l'inégalité à gauche;
On a: Pour tout k1:
Donc:
On a:
Mais c'est très long...Autres suggestions??
Salut! Je n'ai pas vu votre message (messages croisés)..
Est ce que je dois démontrer cette inégalité avant de l'utiliser ou c'est évident?
Pour 2:
*Monotonie de (Un):
donc (Un) est croissante. (1)
*Monotonie de (Vn):
donc (Vn) est décroissante. (2)
*
donc:
(3)
Conclusion: de (1), (2) et (3): (Un)et (Vn) sont adjacentes.
J'ai pensé à utiliser l'un des résultats de la question 1 pour montrer que L1..
On a (Un) et (Vn) sont adjacentes. Donc elles convergent vers une limite commune L telle que Un<L<Vn. On montre alors que Un1.
On a trouvé que: , donc pour que Un1, il suffit que .
En étudiant la monotonie de la fonction sur [1;+[ (car n*), on trouve que f est strictement croissante sur cet intervalle. Donc, x1, f(x)f(1), c-à-d:
Par la suite, (n*) , c-à-d: Un2Un1
D'où: L1
post de 16h01 : non : tu peux l'admettre car c'est une relative évidence ...
post de 15h57 : fastidieux et long mais semble correct ...
on peut se limiter à une minoration seulement puisqu'il est demandé la divergence vers +oo ...
une petite erreur dans les bornes de l'égalité qui suit le car ...
on peut éventuellement travailler directement avec 1/k puisque
pour la limite on peut autrement plus simple en une ligne
pour tout n : donc
or
Pour la 1)
Ce qui nous intéresse c'est l'inégalité de droite
Une autre méthode, si tu connais les suites extraites, c'est de montrer que (S2n - Sn) diverge. Or si (Sn)) converge, ( S2n - Sn) doit converger vers 0.
Mais je trouve cet exercice bien compliqué pour un exo de terminale
Bonjour
c'est dommage de ne pas appliquer la première remarque de Carpediem. Peut être faut-il faire remarquer que n. =....
Effectivement on est allé trop loin mais on a montré que la somme des 1/k diverge, c'est plus fort. L'exercice n'était pas si difficile du coup.
Toutes tes corrections me semblent juste, ainsi que la dernière question.
Néanmoins j'ai l'impression que l'énoncé attend autre chose, mais je ne vois pas.
Et tu admets ici que si une suite converge, toute suite qui en est extraite (du moins la suite u2n) converge et converge vers la même limite... La démonstration est facile mais bon.
Et la réciproque? Je pense fausse..
En tous cas, merci tout le monde! J'ai appris de nouvelles choses. Merci énormément! ^^
La réciproque du théorème admis ? Oui fausse, par exemple la suite des (-1)^n ne converge pas (vers 1).
Pourtant la suite des (-1)^(2n) converge vers 1.
Euh non j'ai dit une bêtise, car (-1)^(2n+1) ne converge pas vers 1.
Mmmmh la réciproque est vrai !
Si toutes suites extraites converge vers L, alors en particulier la suite elle-même (extraite par l'application identité) converge vers L.
Non vous avez raison, elle est fausse..
(-1)^n n'admet pas de limite, tandis que (-1)^{2n} converge vers 1. c-à-d la convergence d'une suite extraite n'implique pas la convergence de la suite d'où elle est extraite..
Oui mais la réciproque ça n'est pas "s'il existe une suite extraite convergente, alors la suite converge" (mais j'ai bien compris que c'est ça que tu voulais, d'où ma 1ère réponse), mais "si toute suite extraite converge alors la suite converge".
Souvent, on regarder les suite u2n et u2n+1 : les 2 converges vers la même limite si et seulement si un converge vers cette limite.
Correction : la réciproque c'est "Si toutes les suites extraites convergent vers la même limite, alors la suite converge".
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