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Calcul de la limite d'une somme.

Posté par
Nijiro
27-05-21 à 14:27

Bonjour!

On se propose de calculer la limite de: \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}} lorsque n+.

Pour n1, on pose:
S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}  et  U_n=2\sqrt{n}-S_n  et  V_n=2\sqrt{n+1}-S_n

1) Montrer que: \lim_{n\rightarrow +\infty }S_n=+\infty.
2)Montrer que les suites (U_n) et (V_n) sont adjacentes de limites commune L1.
3) Calculer: \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{S_n}{n} et \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n}}.
4) Déduire de ce qui précède la valeur de: \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}}


Merci d'avance^^.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 14:45

Pour 1, je pense à montrer que S_n\geq \alpha_n tel que \lim_{n\rightarrow +\infty }\alpha _n=+\infty...

Pour2, montrer que les deux suites sont adjacentes est facile mais je n'ai pas réussi à montrer que L1. En fait, U_n\leq L\leq V_n  ((U_n) est croissante et (V_n) est décroissante). Je dois donc montrer que U_n\geq 1 ou procéder par autre chose .

Pour 3:
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{S_n}{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2\sqrt{n}-U_n}{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{U_n}{n}=0

\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2\sqrt{n}-U_n}{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }2-\frac{U_n}{\sqrt{n}}=2

Pour4: ... ^_^''

Posté par
carpediem
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 15:24

salut

la suite est évidemment croissante et positive ...

si S_n = \sum_1^n a_n alors S_n \ge n \times a où a est le minimum des a_k ...

Posté par
carpediem
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 15:27

et peux-tu nous montrer proprement 2/ ... (enfin ce que tu as fait)

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 15:57

J 'ai une idée pour résoudre 1..

Pour tout k*, la fonction ln est continue sur [k;k+1], dérivable sur ]k;k+1[. Donc,d'après le théorème des accroissements finis:
c]k;k+1[: ln(k+1)-ln(k)=\frac{1}{c}
Puisque c]k;k+1[, alors:

\frac{1}{k+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{k}\\ \Rightarrow \frac{1}{k+1}<ln(k+1)-ln(k)<\frac{1}{k}\\\Rightarrow \sum_{k=1}^{n-1}{}\frac{1}{k+1}<\sum_{k=1}^{n-1}{(ln(k+1)-ln(k))}<\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}<ln(n)<\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}\text{ car }(\sum_{k=1}^{n-1}{}\frac{1}{k+1} =\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}})

Je m'intéresse de l'inégalité à gauche;

On a: Pour tout k1: \frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{1}{k}
Donc: \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\geq \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}>ln(n)\Leftrightarrow S_n> ln(n)

On a: \lim_{n\rightarrow +\infty }ln(n)=+\infty \text { et }S_n>ln(n)\text{ donc: }\lim_{n\rightarrow +\infty }S_n=+\infty

Mais c'est très long...Autres suggestions??

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 16:01

Salut! Je n'ai pas vu votre message (messages croisés)..
Est ce que je dois démontrer cette inégalité avant de l'utiliser ou c'est évident?

carpediem @ 27-05-2021 à 15:24


si S_n = \sum_1^n a_n alors S_n \ge n \times a où a est le minimum des a_k ...

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 16:20

Pour 2:
*Monotonie de (Un):
U_n=2\sqrt{n}-S_n

U_{n+1}-U_n=2\sqrt{n+1}-S_{n+1}-2\sqrt{n}+S_n=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}>0

donc (Un) est croissante. (1)
*Monotonie de (Vn):
V_n= 2\sqrt{n+1}-S_n

V_{n+1}-V_n= 2\sqrt{n+2}-S_{n+1}-2\sqrt{n+1}+S_n=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}<0

donc (Vn) est décroissante. (2)

*V_n-U_n=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
donc:
\lim_{n\rightarrow +\infty }V_n-U_n=0 (3)

Conclusion:  de (1), (2) et (3): (Un)et (Vn) sont adjacentes.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 17:27

J'ai pensé à utiliser l'un des résultats de la question 1 pour montrer que L1..
On a (Un) et (Vn) sont adjacentes. Donc elles convergent vers une limite commune L telle que Un<L<Vn. On montre alors que Un1.
On a trouvé que: S_n>ln(n), donc pour que Un1, il suffit que 2\sqrt{n}-ln(n)\geq 1.
En étudiant la monotonie de la fonction f(x)=2\sqrt{x}-ln(x) sur [1;+[ (car n*), on trouve que f est strictement croissante sur cet intervalle. Donc, x1, f(x)f(1), c-à-d:
2 \sqrt{x}-ln(x)\geq 2
Par la suite, (n*) 2 \sqrt{n}-ln(n)\geq 2, c-à-d: Un2Un1
D'où: L1

Posté par
carpediem
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 17:43

post de 16h01 : non : tu peux l'admettre car c'est une relative évidence ...

post de 15h57 : fastidieux et long mais semble correct ...

on peut se limiter à une minoration seulement puisqu'il est demandé la divergence vers +oo ...

une petite erreur dans les bornes de l'égalité qui suit le car ...

on peut éventuellement travailler directement avec 1/k  puisque \ln \dfrac 1 {\sqrt k} = \dfrac 1 2 \ln \dfrac 1 k

pour la limite on peut autrement plus simple en une ligne

pour tout n : un \le L donc u_1 \le L

or u_1 = ...  ?

Posté par
NoPseudoDispo
re : Calcul de la limite d'une somme. 27-05-21 à 18:06

Pour la 1)

Ce qui nous intéresse c'est l'inégalité de droite

Une autre méthode, si tu connais les suites extraites, c'est de montrer que (S2n - Sn) diverge. Or si (Sn)) converge, ( S2n - Sn) doit converger vers 0.

Mais je trouve cet exercice bien compliqué pour un exo de terminale

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 14:26

carpediem @ 27-05-2021 à 17:43


pour la limite on peut autrement plus simple en une ligne
pour tout n : un \le L donc u_1 \le L
or u_1 = ...  ?

Salut!
Je n'ai pas du tout remarquer que U1=1..
Mercii.

Posté par
breuil
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 14:28

Bonjour
c'est dommage de ne pas appliquer la première remarque de Carpediem. Peut être faut-il faire remarquer que n.\frac{1}{\sqrt{n}} =....

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 15:03

NoPseudoDispo @ 27-05-2021 à 18:06


Pour la 1)
Ce qui nous intéresse c'est l'inégalité de droite


Salut!
Autant pour moi... Vous avez raison.
Je rectifie alors:

On s'intéresse de l'inégalité suivante: \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}>ln(n)
On a:
(k*)
\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \frac{1}{k}\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\geq \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\Rightarrow S_n\geq\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}+\frac{1}{n}
Or: \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}>ln(n)
Donc: S_n> ln(n)+\frac{1}{n}

\lim_{n\rightarrow +\infty }ln(n)+\frac{1}{n}=+\infty
Donc:\lim_{n\rightarrow +\infty }S_n=+\infty

Et pour:
carpediem @ 27-05-2021 à 17:43


une petite erreur dans les bornes de l'égalité qui suit le car ...

Tout à fait d'accord.

Nijiro @ 27-05-2021 à 15:57


\Rightarrow \sum_{k=1}^{n-1}{}\frac{1}{k+1}<\sum_{k=1}^{n-1}{(ln(k+1)-ln(k))}<\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}<ln(n)<\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}\text{ car }(\sum_{k=1}^{n-1}{}\frac{1}{k+1} =\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}})

Vous parlez de cette partie n'est ce pas?
Je rectifie:
\sum_{k=1}^{n-1}{}\frac{1}{k+1}<\sum_{k=1}^{n-1}{(ln(k+1)-ln(k))}<\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}\\ \Rightarrow \sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}}<ln(n)<\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}\text{ car }(\sum_{k=1}^{n-1}{}\frac{1}{k+1} =\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}})
Mais c'est inutile puisque je vais utiliser l'autre inégalité.

Merci Carpediem et NoPseudoDispo pour la correction! ^^

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 15:17

breuil @ 28-05-2021 à 14:28

Bonjour
c'est dommage de ne pas appliquer la première remarque de Carpediem. Peut être faut-il faire remarquer que n.\frac{1}{\sqrt{n}} =....


Bonjour!
Puisque je peux admettre que:
carpediem @ 27-05-2021 à 15:24


si S_n = \sum_1^n a_n alors S_n \ge n \times a où a est le minimum des a_k ...


Alors, on a:
S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}
Donc: S_n>n\times \frac{1}{\sqrt{n}}\Rightarrow S_n>\sqrt{n}
On a:
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{n}=+\infty
Alors:
\lim_{n\rightarrow +\infty }S_n=+\infty

Et c'est dix fois plus facile que mon raisonnement.
Merci!!

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 15:27

NoPseudoDispo @ 27-05-2021 à 18:06


Une autre méthode, si tu connais les suites extraites, c'est de montrer que (S2n - Sn) diverge. Or si (Sn)) converge, ( S2n - Sn) doit converger vers 0.

Non, je ne connais pas les suites extraites, mais je pense que je peux utiliser S2n-Sn pour répondre à la question 4...
J'ai une idée.. Le raisonnement dans le message suivant.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 15:41

On a :
S_{2n}-S_n=\sum_{k=1}^{2n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}-\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}}
Donc:
\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}}
On a :
\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}=\frac{S_{2n}}{\sqrt{n}}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}
 \\
Alors:
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{2}\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}=2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1)
(d'après 3: \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{S_n}{\sqrt{n}}=2)

ça marche comme ça?

Posté par
breuil
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:05

Une petite remarque: par rapport au but de l'exercice, je ne vois pas à quoi sert L1.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:25

breuil @ 28-05-2021 à 17:05

Une petite remarque: par rapport au but de l'exercice, je ne vois pas à quoi sert L1.


Maintenant que vous le dites, je ne vois pas vraiment à quoi ça sert...

Ma réponse pour la question 4, est-elle correcte?

Posté par
breuil
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:28

De mon point de vue tout à fait correcte.

Posté par
NoPseudoDispo
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:38

Effectivement on est allé trop loin mais on a montré que la somme des 1/k diverge, c'est plus fort. L'exercice n'était pas si difficile du coup.

Toutes tes corrections me semblent juste, ainsi que la dernière question.

Néanmoins j'ai l'impression que l'énoncé attend autre chose, mais je ne vois pas.
Et tu admets ici que si une suite converge, toute suite qui en est extraite (du moins la suite u2n) converge et converge vers la même limite... La démonstration est facile mais bon.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:53

Et la réciproque? Je pense fausse..

En tous cas, merci tout le monde! J'ai appris de nouvelles choses. Merci énormément! ^^

Posté par
breuil
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:55

Vraiment de rien, bravo pour l'esprit de recherche!!

Posté par
NoPseudoDispo
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 17:59

La réciproque du théorème admis ? Oui fausse, par exemple la suite des (-1)^n ne converge pas (vers 1).

Pourtant la suite des (-1)^(2n) converge vers 1.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:04

carpediem @ 27-05-2021 à 15:24


si S_n = \sum_1^n a_n alors S_n \ge n \times a où a est le minimum des a_k ...

Pour utiliser celle-ci, il faut que la suite soit positive et croissante, n'est ce pas?

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:05

NoPseudoDispo @ 28-05-2021 à 17:59

La réciproque du théorème admis ? Oui fausse, par exemple la suite des (-1)^n ne converge pas (vers 1).

Pourtant la suite des (-1)^(2n) converge vers 1.
NoPseudoDispo @ 28-05-2021 à 17:59

La réciproque du théorème admis ? Oui fausse, par exemple la suite des (-1)^n ne converge pas (vers 1).

Pourtant la suite des (-1)^(2n) converge vers 1.


C'est compris! Merci infiniment ^^

Posté par
NoPseudoDispo
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:05

Euh non j'ai dit une bêtise, car (-1)^(2n+1) ne converge pas vers 1.
Mmmmh la réciproque est vrai !

Si toutes suites extraites converge vers L, alors en particulier la suite elle-même (extraite par l'application identité) converge vers L.

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:17

Non vous avez raison, elle est fausse..
(-1)^n n'admet pas de limite, tandis que (-1)^{2n} converge vers 1. c-à-d la convergence d'une suite extraite n'implique pas la convergence de la suite d'où elle est extraite..

Posté par
NoPseudoDispo
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:24

Oui mais la réciproque ça n'est pas "s'il existe une suite extraite convergente, alors la suite converge" (mais j'ai bien compris que c'est ça que tu voulais, d'où ma 1ère réponse), mais "si toute suite extraite converge alors la suite converge".

Souvent, on regarder les suite u2n et u2n+1 : les 2 converges vers la même limite si et seulement si un converge vers cette limite.

Posté par
NoPseudoDispo
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:26

Correction : la réciproque c'est "Si toutes les suites extraites convergent vers la même limite, alors la suite converge".

Posté par
Nijiro
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 18:32

Ah bon, c'est compris! Merci beaucoup!! ^^

Posté par
carpediem
re : Calcul de la limite d'une somme. 28-05-21 à 19:15

Nijiro @ 28-05-2021 à 18:04

carpediem @ 27-05-2021 à 15:24


si S_n = \sum_1^n a_n alors S_n \ge n \times a où a est le minimum des a_k ...

Pour utiliser celle-ci, il faut que la suite soit positive et croissante, n'est ce pas?

ma remarque n'est qu'une remarque ... qu'il faut remarquer !!!
on ne sait pas si ça va servir ... mais si ça sert ben autant l'avoir vu immédiatement ...

pour ce qui est de la limite L l'important est qu'elle soit finie

et alors on a donc pour tout n : u_n \le L \le v_n \iff 2\sqrt n \le S_n + L \le 2\sqrt {n + 1}

ce qui permet de répondre immédiatement à 3/ en divisant par n ou par n

quant à la différence S_{2n} - S_n on n'y coupera pas à la question 4/ puisque la somme est exactement cette différence ...



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