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Calcul de somme d'entier

Posté par
azboul 14-03-07 à 21:33

bonjour a tous,
Voilà on me demande de calculer cette somme :

\sum \frac{1}{n(n+1)(2n+1)}

Mon premier réflexe a été de la décomposer : j'obtiens ceci :

\sum \frac{1}{n}+ \sum \frac{1}{n+1} + \sum \frac{-4}{2n+1}

pour trouver la somme j'ai décidé de remplacer par cette somme là et ensuite (quand j'aurais ma réponse) je ferais tendre z vers 1 :

\sum \frac{z^n}{n}+ \sum \frac{z^n}{n+1} + \sum \frac{-4z^n}{2n+1}

J'ai supposé n \geq 1

Pour la première somme je trouve : \sum \frac{z^n}{n} = -\log(1-z)
Pour la deuxieme somme : \sum \frac{z^n}{n+1} = \frac{-1}{z}(\log(1-z)-z)

Je pense déja qu'il y a une erreur quelquepart vu que les deux premières sommes sont infinies quand z->1.
Sinon je n'ai vraiment aucune idée pour la troisième somme (j'ai essayer de sortir le 4 du signe somme, mais sans succès)
Alors si quelqu'un avait une idée pour m'aider ce serait vraiment sympa.
Merci d'avance.

Posté par
jeansebre : Calcul de somme d'entier 14-03-07 à 21:59

Peut-être peux tu utiliser:

\Bigsum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Posté par
jeansebre : Calcul de somme d'entier 14-03-07 à 22:00

Sans garantie!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcul de somme d'entier. 14-03-07 à 22:42

Bonsoir ;
Si mes calculs sont bons je trouve 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)(2n+1)}=3-4ln(2)}.
L'idée consiste d'abord à écrire (comme l'a fait azboul) 2$\fbox{\frac{1}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{4}{2n+1}}
puis de remarquer que cela s'écrit aussi
3$\fbox{\frac{1}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-4(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2})}
et donc 4$\fbox{\Bigsum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(2n+1)}=\Bigsum_{n=1}^{N}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})-4\Bigsum_{n=3}^{2N+2}\frac{(-1)^{n-1}}{n}} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
jeansebre : Calcul de somme d'entier 14-03-07 à 23:37

Bravo elhor!

Posté par
azboulre : Calcul de somme d'entier 15-03-07 à 07:34

Ah oui c'est vrai ! bien vu.
Merci beaucoup pour votre aide a vous deux, j'avoue ne pas avoir pensé a développer la dernière somme de cette façon

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcul de somme d'entier. 15-03-07 à 18:05

Merci jeanseb
A ton service azboul , c'est un savoir faire qu'on acquérit rien qu'en travaillant


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